6-2. 수반연산자

3. 수반연산자란 무엇인가?

보조정리

• 조건
  - 유한차원 $F$-벡터공간 $V$와 선형변환 $g:V \rightarrow F$가 있다고 하자
• 정리
  - 모든 $x \in V$에 대해 $g(x)= < x,y >$ 을 만족시키는 $y \in V$가 유일하게 존재한다
• 증명
  - $V$의 정규직교기저를 $\beta = \{v_1,v_2,...,v_n\}$ 이라고 하자
  - $y=\sum_{i=1}^{n}\overline{g(v_i)}v_i$라 하자
  - $h: V \rightarrow F$ 에 대해 $h(x)=\langle x,y \rangle$이라고 정의하자
  - $h$가 선형이다. 또한 $1 \le j \le n$ 에 대해 다음이 성립한다
  - $h(v_j)=\langle v_j,y \rangle =\langle v_j, \sum_{i=1}^{n} \overline{g(v_i)}v_i \rangle=\sum_{i=1}^{n}g(v_i)\langle v_j, v_i \rangle=g(v_j)$
  - $g=h$ 이다.
  - $y$가 유일함을 보이자
  - 모든 $x$에 대해 $g(x)=\langle x,y' \rangle$이라 가정하자. 모든 $x$에 대해 $\langle x,y \rangle = \langle x,y' \rangle$ 이면 앞의 정리(6-1 참고)에 따라 $y=y'$이다
  

수반연산자 $adjoint$의 정의

• 조건
  - 유한차원 내적공간 $V$가 있고 선형연산자 $T:V\rightarrow V$가 있다고 하자
  - 임의의 벡터 $x,y \in V$가 있다고 하자
• 정리
  - $\langle T(x),y\rangle =\langle x,T^\star(y) \rangle$ 을 만족시키는 함수 $T^\star$가 유일하게 존재한다
  - $T^\star$는 선형변환이다
• 정의
  - $T^\star$를 $T$의 수반연산자$adjoi nt$라고 부른다
• 증명
  - $y \in V$를 고정하자. 모든 $x \in V$에 대해 $g:V \rightarrow F$를 $g(x)= \langle T(x),y \rangle$으로 정의하자
  - $g$가 선형임을 보이자
  - $x_1,x_2 \in V, c\in F$ 라 하자
  - $g(cx_1+x_2)=\langle T(cx_1+x_2),y \rangle= \langle cT(x_1)+T(x_2),y \rangle=c\langle T(x_1),y \rangle+ \langle T(x_2),y \rangle=cg(x_1)+g(x_2)$
  - 위의 보조정리를 활용하자
  - $g(x)=\langle x,y' \rangle$을 만족시키는 유일한 벡터 $y' \in V$가 존재한다
  - 즉 $\langle T(x),y \rangle = \langle x,y' \rangle$ 이다
  - $T^\star :V \rightarrow V ,\,\,T^\star(x)=y'$ 이라 정의하자
  - $T^\star$의 선형성 보이기
  - $y_1,y_2 \in V, c \in F$를 고정하고 임의의 $x \in V$에 대해 살펴보자
  - $\langle x,T^\star(cy_1+y_2) \rangle = \langle T(x),cy_1+y_2\rangle = \bar{c}\langle T(x),y_1 \rangle +\langle T(x),y_2 \rangle=\bar{c}\langle x,T^\star(y_1) \rangle + \langle x, T^\star( y_2) \rangle=\langle x,c T^*(y_1)+T^\star(y_2)\rangle$
  - 모든 $x\in V$에 대해 성립하므로 $T^*(cy_1+y_2)=cT^*(y_1)+T^*(y_2)$
  - $T^\star$의 유일함 보이기
  - $U:V \rightarrow V$에 대해 선형이고 $x,y\in V$에 대해 $\langle T(x),y \rangle = \langle x,U(y) \rangle$을 만족시킨다고 가정하자
  - $x,y\in V$에 대해 $\langle x,T^*(y)\rangle= \langle x,T(y) \rangle$

이에 따라오는 성질들

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$와 그 정규직교기저 $\beta$, 선형연산자 $T$
  가 있다고 하자
• 정리
  - $[T^*]_{\beta}= ([T]_{\beta})^*$

증명

• $\beta =\{v_1,v_2,...,v_n \}$ 이라고 하자
• 보조정리 하나를 증명하자
• 조건
  • 유한차원 내적공간 $V$와 $V$의 정규직교기저 $\beta$가 있다고 하자
  • $\beta =\{v_1,v_2,...,v_n \}$라고 하자
  • 임의의 벡터 $x,y \in V$가 있다고 하자
  • $\langle \cdot,\cdot \rangle$은 $V$의 내적, $\langle \cdot,\cdot \rangle'$ 은 $F^n$의 표준내적이라 하자
• 정리
  - $\langle x,y \rangle = \langle [x]_\beta,[y]_\beta \rangle'$ 이다
• 증명
  - $x= \sum_{i=1}^{n} \langle x,v_i \rangle v_i$ 이다
  - $\langle x,y \rangle= \langle \sum_{i=1}^{n} \langle x,v_i \rangle v_i, y\rangle=\sum_{i=1}^{n} \langle x,v_i \rangle \overline{\langle y,v_i \rangle}$
  - $\langle [x]_\beta,[y]_\beta \rangle=\langle \sum_{i} \langle x,v_i\rangle e_i, \sum_{j} \langle y,v_j \rangle e_j \rangle \rangle= \sum_{i,j} \langle x,v_i \rangle \overline{\langle y,v_j \rangle} \langle e_i,e_j\rangle'= \sum_{i} \langle x,v_i \rangle \overline{\langle y,v_i \rangle }=\langle x,y \rangle$
  - 보조정리를 활용하여 증명하자
  - $\langle T^*(v_j),v_k\rangle = \langle [T^*(v_j)]_\beta,[v_k]_\beta \rangle$ 를 이용한다
  - $[T^*(v_j)]_\beta= [T^*]_\beta[v_j]_\beta=col_j([T^*]_\beta)=\sum_{i} ([T^*]_{\beta})_{ij}e_i$
  - $\langle \sum_{i} ([T^*]_{\beta})_{ij}e_i, e_k \rangle=([T^*]_\beta)_{kj}$
  - $\langle T^*(v_j),v_k\rangle =\langle v_j,T(v_k) \rangle=\langle [v_j]_\beta,[T(v_k)]_\beta \rangle$를 이용한다
  - $[T(v_k)]_\beta=[T]_\beta[v_k]_\beta=col_k([T]_\beta)=\sum_{i} ([T]_{\beta})_{ik}e_i$
  - $\langle e_j,\sum_{i} ([T]_{\beta})_{ik}e_i \rangle= \sum_{i} ([T]_\beta)_{ik} \langle e_j,e_i \rangle= ([T]_\beta)_{jk}$
  - $([T^*]_\beta)_{kj}= ([T]_\beta)_{jk}$
  

이에 따라오는 성질2

• 조건
  - 내적공간 $V$와 수반연산자가 존재하는 선형연산자 $T,U$가 존재한다고 하자
  - 임의의 $c \in F$가 존재한다고 하자
• 정리
  - $(T+U)^*$ 가 존재하고 $(T+U)^*=T^*+U^*$ 이다
  - $(cT)^*$가 존재하고 $(cT)^*=\bar{c}T^*$ 이다
  - $(TU)^*$가 존재하고 $(TU)^*=U^*T^*$ 이다
  - $(T^*)^*$가 존재하고 $T^{**}=T$ 이다
  - $I$의 수반연산자가 존재하고 $I^*=I$이다