2-1. 선형변환과 행렬

1. 선형변환$linear\,\,transform$ 이란?

• 조건
  - $F$-벡터공간 $V,W$가 있다 하자. 모든 $x,y, \in V$, $c \in F$에 대하여 다음을 만족시키는 함수 $T:V\rightarrow W$를 선형변환이라고 한다
• 정의
  - $T(x+y)=T(x)+T(y)$
  - $T(cx)=cT(x)$
• 이에 따라오는 성질들
  - $T(0)=0$
  - $T$가 선형이기 위한 필요충분조건은 $T(cx+y)=cT(x)+T(y)$이다
  - $T(\sum_{i=1}^{n}a_i x_i)=\sum_{i=1}^{n}a_iT(x_i)$

1-1. 용어들

• 변환
  - 항등변환 $identitiy\,\,transformation$: $I_V:V\rightarrow V$는 모든 $x \in V$에 대해 $I_V(x)=x$
  - 영변환 $zero\,\,transformation$ : $T_0:V\rightarrow W$는 모든 $x \in W$에 대해 $T_0(x)=0$
• 공간
  - 벡터공간 $V,W$와 선형변환 $T:V\rightarrow W$에 대하여
  - 영공간 $null\,\,space/kernal$ | $N(T)=\{x \in V: T(x)=0 \}$
  - 상공간 $range/image$ | $R(T)=\{T(x):x\in V\}$

2. 차원정리 $dimension\,\,theorem$

• 조건
  - 벡터공간 $V,W$ 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 있다고 하자.
  - $V$는 유한차원이라 하자
• 결과
  - $dim(V)=rank(T)+nullity(T)$
  

2-1. 전단사 $bijection$

• 정의
  - 전사$surjection/onto$ | 공역$codomain$(함수에서 대응되는 쪽의 집합)과 치역$range$(함숫값의 집합)이 같다
  - 단사 $injection/one-to-one$ | 정의역의 서로다른 원소를 공역의 서로 다른 원소에 대응시킨다
  - 전단사 $bijection$| 전사이면서 단사인 함수
• 벡터공간 $V,W$, 선형변환 $T:V\rightarrow W$의 경우 다음이 성립한다
  - $T$가 단사함수이다는 $N(T)=\{0\}$과 필요충분조건이다
• 벡터공간 $V,W$이 차원이 같을 때 $T:V\rightarrow W$의 다음 세 명제는 동치이다
  - $T$는 단사이다
  - $T$는 전사이다
  - $dim(V)=rank(T)$
  

3.선형변환을 행렬$\cdot$튜플곱 표현하기

좌표벡터 $coordinate\,\,vector$

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$의 순서기저(순서를 고려하는 기저) $\beta=\{v_1,v_2,...,v_n\}$이라 한다
  - $x \in V$에 대해 $a_1,a_2,...,a_n \in F$는 $x=\sum_{i=1}^{n}a_iv_i$를 만족시키는 유일한 스칼라라 하자
• 정의
  - $\beta$에 대한 $x$의 좌표벡터는 다음과 같이 정의된다
  - $\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,[x]_{\beta}= \begin{pmatrix} a_1\\a_2\\...\\\\a_n\end{pmatrix}$
  

행렬표현 $matrix\,\,representation$

• 조건
  - 유한차원 벡터공간 $V$가 있고 그 순서기저가 $\beta=\{v_1,v_2,...,v_n\}$이라 하자
  - 유한차원 벡터공간 $W$가 있고 그 순서기저가 $\gamma=\{w_1,w_2,...,w_m\}$이라 하자
  - 선형변환 $T:V\rightarrow W$가 있다고 하자
  - 중간결과
  • $T(v_j)=\sum_{i=1}^{m}a_{ij}w_i$를 만족시키는 스칼라 $a_{ij},\,\,\,j=1,2,...,n$ 는 존재한다
• 조건2
  - $m \times n$행렬 ${A}$과 $n\times1$ 튜플 $b$ 의 곱을 다음과 같이 정의하자
  - $[{A}b]_{i}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}b_{k}$
  - $[T]_{\beta}^{\gamma}$를 순서기저 $\beta$와 $\gamma$에 대한 선형변환 $T$의 행렬변환이라 하고 다음과 같이 정의하자
  - $([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}=a_{ij}$
• 최종결과
  - $[T(v_j)]_{\gamma}=[T]_{\beta}^{\gamma}[v_j]_{\beta}$ 로 표현할 수 있다
  - $pf. \,\,[T]_{\beta}^{\gamma}[v_j]_{\beta}=[T]_{\beta}^{\gamma}e_j= col_j([T]_{\beta}^{\gamma})=([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}e_i=([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}[w_i]_{\gamma}=[a_{ij}w_i]_{\gamma}=[T(v_j)]_{\gamma}$
  

3-1 선형변환의 합/ 스칼라곱 정의

• 조건
  - $F$-벡터공간 $V,W$가 있다 하자. 그리고 임의의 함수 $T,U: V\rightarrow W$, 스칼라 $a\in F$가 있다 하자 .선형변환의 합과 스칼라곱은 다음과 같이 정의한다
• 정의
  - 합 | 모든 $x\in V$에 대해 $(T+U)(x)=T(x)+U(x)$
  - 스칼라 곱 | 모든 $x \in V$에 대해 ($aT)(x)=aT(x)$
• 이에 따라오는 성질
  - $(aT+U)$는 선형이다
  - $[T+U]_{\beta}^{\gamma}=[T]_{\beta}^{\gamma}+[U]_{\beta}^{\gamma}$
  - $[aT]_{\beta}^{\gamma}=a[T]_{\beta}^{\gamma}$
• 증명
  - $T(v_j)= ([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}w_i ,\,\,(aU)(v_j)=a([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij}w_i$
  - $(T+aU)(v_j)=(T(V_{j})+aU(v_{j}))=(([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}+a([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij})w_i$
  - $[T+aU]_{\beta}^{\gamma}[v_j]_{\beta}=(([T]_{\beta}^{\gamma})_{ij}+a([U]_{\beta}^{\gamma})_{ij})[w_i]_{\gamma}$
  - $col_j([T+aU]_{\beta}^{\gamma})=$$col_j([T]_{\beta}^{\gamma})+a\cdot col_j([U]_{\beta}^{\gamma})$
  - $[T+aU]_{\beta}^{\gamma}=[T]_{\beta}^{\gamma}+a[U]_{\beta}^{\gamma}$