milkbutterchesse.log

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테일러급수에서 2nd symmetry derivative 유도

milkbuttercheese·2023년 3월 16일

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기타수학

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$f(t)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty }{\displaystyle\frac{f ^{(n)}(x)}{n!}}(t-x) ^{n}$
- $f(\epsilon)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty }{\displaystyle\frac{f ^{(n)}(x)}{n!}}(\epsilon-x) ^{n}$
- $f(x+\epsilon)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty }{\displaystyle\frac{f ^{(n)}(x)}{n!}}\epsilon ^{n}=f(x)+f'(x)\epsilon+\displaystyle\frac{1}{2}f''(x)\epsilon ^{2}+\eta(\epsilon)$
- $f(x-\epsilon)=\displaystyle\sum_{i=0}^{\infty }{\displaystyle\frac{f ^{(n)}(x)}{n!}}(-\epsilon) ^{n}=f(x)-f'(x)\epsilon+\displaystyle\frac{1}{2}f''(x)\epsilon ^{2}+\eta(-\epsilon)$
- $\displaystyle\frac{1}{2}f''(x)\epsilon ^{2}=f(x+\epsilon)-f(x)-f'(x)\epsilon-\eta(\epsilon)=f(x-\epsilon)-f(x)+f'(x)\epsilon-\eta(-\epsilon)$
- $f''(x)= \displaystyle\frac{1}{\epsilon ^{2}}[f(x+\epsilon)+f(x-\epsilon)-2f(x)-\eta(\epsilon)-\eta(-\epsilon)]$
- 이는 $\epsilon$ 이 무슨 값이든 참이여야 하므로 $\epsilon \to 0$ 으로 보내면 $\lim_{\epsilon \to 0}{\displaystyle\frac{\eta(\epsilon)}{\epsilon ^{2}}}=\displaystyle\frac{\eta(-\epsilon)}{\epsilon ^{2}}=0$ 이되고,
- $f''(x)=\lim_{\epsilon \to 0}{\displaystyle\frac{f(x+\epsilon)+f(x-\epsilon)-2f(x)}{\epsilon ^{2}}}$

milkbuttercheese

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