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표본분산을 n-1로 나누는 수학적 배경
milkbuttercheese
·
2023년 3월 27일
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6/8
E
[
1
n
−
1
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
‾
)
2
]
\mathbb{E}[\displaystyle\frac{1}{n-1}\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{(x _{i}-\overline{x}) ^{2}}]
E
[
n
−
1
1
i
=
1
∑
n
(
x
i
−
x
)
2
]
=
1
n
−
1
E
[
∑
i
=
1
n
(
(
x
i
−
μ
)
+
(
μ
−
x
‾
)
)
2
]
=\displaystyle\frac{1}{n-1}\mathbb{E}[\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{((x _{i}-\mu)+(\mu-\overline{x})) ^{2}}]
=
n
−
1
1
E
[
i
=
1
∑
n
(
(
x
i
−
μ
)
+
(
μ
−
x
)
)
2
]
=
1
n
−
1
E
]
[
∑
i
=
1
n
(
(
x
i
−
μ
)
2
+
(
μ
−
x
‾
)
2
+
2
(
x
i
−
μ
)
(
μ
−
x
‾
)
)
]
=\displaystyle\frac{1}{n-1}\mathbb{E}][\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{((x _{i}-\mu) ^{2}+(\mu-\overline{x}) ^{2}+2(x _{i}-\mu)(\mu-\overline{x}))}]
=
n
−
1
1
E
]
[
i
=
1
∑
n
(
(
x
i
−
μ
)
2
+
(
μ
−
x
)
2
+
2
(
x
i
−
μ
)
(
μ
−
x
)
)
]
=
1
n
−
1
E
[
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
+
n
(
μ
−
x
‾
)
2
+
2
n
(
μ
−
x
‾
)
(
x
‾
−
μ
)
]
=\displaystyle\frac{1}{n-1}\mathbb{E}[\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{(x _{i}-\mu ) ^{2}}+n(\mu-\overline{x}) ^{2}+2n(\mu-\overline{x})(\overline{x}-\mu)]
=
n
−
1
1
E
[
i
=
1
∑
n
(
x
i
−
μ
)
2
+
n
(
μ
−
x
)
2
+
2
n
(
μ
−
x
)
(
x
−
μ
)
]
=
1
n
−
1
E
[
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
μ
)
2
−
n
(
x
‾
−
μ
)
2
]
=\displaystyle\frac{1}{n-1}\mathbb{E}[\displaystyle\sum\limits_{i=1}^{n}{(x _{i}-\mu) ^{2}-n(\overline{x}-\mu) ^{2}}]
=
n
−
1
1
E
[
i
=
1
∑
n
(
x
i
−
μ
)
2
−
n
(
x
−
μ
)
2
]
첫번째 항은
n
σ
2
n \sigma ^{2}
n
σ
2
이고, 두번째항의
E
[
(
x
‾
−
μ
)
2
]
=
V
a
r
(
X
‾
)
=
σ
2
/
n
\mathbb{E}[(\overline{x}-\mu) ^{2}]=Var(\overline{X})=\sigma ^{2}/n
E
[
(
x
−
μ
)
2
]
=
V
a
r
(
X
)
=
σ
2
/
n
이므로
=
1
n
−
1
E
[
σ
2
−
n
⋅
σ
2
n
]
=
σ
2
=\displaystyle\frac{1}{n-1}\mathbb{E}[\sigma ^{2}-n \cdot \displaystyle\frac{\sigma ^{2}}{n}]=\sigma ^{2}
=
n
−
1
1
E
[
σ
2
−
n
⋅
n
σ
2
]
=
σ
2
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