활성화 함수가 없으면 미분이 불가능한가?

활성화 함수가 없더라도 미분은 가능합니다. 그러나 활성화 함수가 없는 신경망은 단순히 선형 변환만을 수행하는 모델이 되어, 비선형성을 잃게 됩니다. 이 경우, 신경망의 각 레이어는 하나의 선형 방정식으로 나타낼 수 있으며, 레이어가 아무리 깊어져도 결국 하나의 선형 변환으로 표현됩니다.

활성화 함수가 없는 경우의 문제:

• 비선형성 부족: 활성화 함수가 없다면 각 레이어에서 단순히 행렬 곱과 덧셈만 이루어집니다. 이 경우 신경망은 여러 레이어를 거치더라도 여전히 선형 변환만 이루어지며, 복잡한 패턴을 학습할 수 없습니다.
• 학습은 가능하지만 제한적: 활성화 함수가 없더라도 미분이 가능하고, 역전파(backpropagation)를 통해 가중치를 학습할 수는 있습니다. 하지만 이때 학습하는 모델은 본질적으로 선형 회귀와 같은 성격을 갖습니다. 즉, 선형 관계를 학습할 수는 있지만, 복잡한 비선형 문제를 풀 수 없습니다.

활성화 함수의 역할:

1. 비선형성 도입: 활성화 함수는 비선형성을 신경망에 도입하여, 신경망이 복잡한 패턴을 학습할 수 있도록 합니다. 예를 들어, ReLU, Sigmoid, Tanh 같은 활성화 함수는 신경망이 선형 변환 이상의 복잡한 관계를 학습할 수 있게 해줍니다.
2. 미분 가능성: 대부분의 활성화 함수는 미분이 가능하며, 이를 통해 역전파를 사용한 학습이 가능하게 합니다. 활성화 함수가 없다면 신경망의 표현력이 크게 떨어지지만, 학습 자체는 미분이 가능하므로 이론적으로 가능합니다.

수학적 설명:

• 만약 활성화 함수가 없는 신경망에서, 각 레이어는 다음과 같이 표현됩니다:
  [
  y = W_2 (W_1 x + b_1) + b_2
  ]
  여기서 (W_1), (W_2)는 가중치 행렬, (b_1), (b_2)는 편향입니다. 여러 레이어를 쌓더라도 이 변환은 하나의 선형 변환으로 합칠 수 있습니다.
• 반면, 활성화 함수를 도입하면:
  [
  y = W_2 f(W_1 x + b_1) + b_2
  ]
  여기서 (f)는 비선형 활성화 함수로, 신경망이 더 복잡한 관계를 학습할 수 있도록 돕습니다.

요약:

• 활성화 함수가 없어도 미분은 가능합니다. 그러나 활성화 함수가 없으면 신경망은 선형 모델로만 작동하며, 복잡한 비선형 문제를 해결할 수 없습니다.
• 활성화 함수는 신경망에 비선형성을 도입해 더 복잡한 패턴을 학습할 수 있게 해줍니다.