문제

수열 S가 어떤 수 Sk를 기준으로 S1 < S2 < ... Sk-1 < Sk > Sk+1 > ... SN-1 > SN을 만족한다면, 그 수열을 바이토닉 수열이라고 한다.

예를 들어, {10, 20, 30, 25, 20}과 {10, 20, 30, 40}, {50, 40, 25, 10} 은 바이토닉 수열이지만, {1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, 1}과 {10, 20, 30, 40, 20, 30} 은 바이토닉 수열이 아니다.

수열 A가 주어졌을 때, 그 수열의 부분 수열 중 바이토닉 수열이면서 가장 긴 수열의 길이를 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

첫째 줄에 수열 A의 크기 N이 주어지고, 둘째 줄에는 수열 A를 이루고 있는 Ai가 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000, 1 ≤ Ai ≤ 1,000)

출력

첫째 줄에 수열 A의 부분 수열 중에서 가장 긴 바이토닉 수열의 길이를 출력한다.

풀이

해당 문제는 가장 긴 증가하는 부분수열의 응용 문제라고 생각하면 된다. 바이토닉 수열은 오름차순으로 증가하다 내림차순으로 감소하는 수열을 의미한다.

입력 예제로 주어진 1 5 2 1 4 3 4 5 2 1로 예를 들어보자
증가하는 부분수열 길이 값이 r_d[] = 1, 2, 2, 1, 3, 3, 4, 5, 2, 1 로 되는 것을 알수 있다. 감소하는 부분수열 길이는 입력 예제 마지막 부분(오른쪽 맨 끝)부터 역순으로 증가하는 부분수열을 구하면 된는데, l_d[] = 1, 5, 2, 1, 4, 3, 3, 3, 2, 1 를 구할 수 있다.

이제 가장 긴 바이토닉 부분 수열을 구하는 방법은 위 두개의 리스트를 합하면 된다. 하지만 합해진 리스트는 원소가 중복이 되었기 때문에 -1를 해주어야 한다.

이해를 돕기위해 두번째 인덱스 부분을 보자.
증가하는 부분수열의 두번째 r_d[1]은 2, 감소하는 부분수열의 두번째 l_d[1]은 5 이다.
r_d[1] = {1, 5} , l_d[1] = {5, 4, 3, 2, 1} (원래 수열의 왼쪽부터)
두개를 합치면 {1, 5, 5, 4, 3, 2, 1,}이고, 따라서 길이는 6이 된다.

결론적으로 처음에 가장 긴 증가하는 부분수열을 구한 뒤 역순으로 또다시 가장 긴 증가하는 부분수열을 구하고 두개를 합한 값에 -1를 해준다. 그 다음 제일 큰 값을 출력하면 된다.

소스

import java.util.*;

public class Main {
	public static int n;
	public static int[] arr;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		n = sc.nextInt();
		arr = new int[n];
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			arr[i] = sc.nextInt();
		}

		// 증가하는 부분수열
		int[] d = new int[n];
		Arrays.fill(d, 1);

		for (int i = 0; i < n; i++) {
			for (int j = 0; j < i; j++) {
				if (arr[j] < arr[i]) {
					d[i] = Math.max(d[i], d[j] + 1);
				}
			}
		}

		// 감소하는 부분수열
		int[] d2 = new int[n];
		Arrays.fill(d2, 1);

		for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
			for (int j = i + 1; j < n; j++) {
				if (arr[j] < arr[i]) {
					d2[i] = Math.max(d2[i], d2[j] + 1);
				}
			}
		}

		int ans = d[0] + d2[0] - 1;
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			ans = Math.max(ans, d[i] + d2[i] - 1);
		}
		System.out.println(ans);
	}

}