문제

45656이란 수를 보자.

이 수는 인접한 모든 자리수의 차이가 1이 난다. 이런 수를 계단 수라고 한다.

세준이는 수의 길이가 N인 계단 수가 몇 개 있는지 궁금해졌다.

N이 주어질 때, 길이가 N인 계단 수가 총 몇 개 있는지 구하는 프로그램을 작성하시오. (0으로 시작하는 수는 없다.)

입력

첫째 줄에 N이 주어진다. N은 1보다 크거나 같고, 100보다 작거나 같은 자연수이다.

출력

첫째 줄에 정답을 1,000,000,000으로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

문제에서 길이가 N인 계단 수가 몇개인지 구해야 한다. 계단 수는 인접한 모든 자리수의 차이가 1이 난다는 점이다.

N = 1인 경우 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 총 9개가 있다.
N = 2인 경우 12, 21, 23, 32, 34, 43 ... 총 17개가 있다.
N = 3인 경우 121, 123, 210, 212 ... 일 것이다.

자세히 보면 바로 앞에 있는 수에 +1 과 -1를 한 값이 붙는다는 것을 알 수 있다.

하지만 바로 앞에 있는 수가 0인 경우는 뒤에 +1를 할 수밖에 없고, 앞에 있는 수가 9인 경우 -1를 할 수 밖에 없다.

따라서 0 과 9 그리고 1~8 이 3가지 경우를 고려해서 풀어야 한다.

d[N][I](0<= i <= 9) 라고 가정하면
d[1][i] = 1 이고 총 개수는 9개가 나오는 것이다.

만약 d[2][2]이라면 21, 23을 나타낸다고 볼 수 있다. 왜냐하면 2번째 자리수가 2이면 1번째 자리수는 1 또는 3이 올 수 밖에 없다.
(N번째 자리수는 123 수가 있을때 3번째 자리수는 1, 2번째 자리수는 2, 1번째 자리수는 3 이 순서로 진행된다.)

즉, 1부터 8사이의 점화식은 d[n][i] = d[n-1][i-1] + d[n-1][i+1]이라고 할 수 있다.

소스

import java.util.*;

public class Main {
	public static final long mod = 1000000000L;
	public static int n;
	public static long[][] d;

	public static void main(String[] args) {
		Scanner sc = new Scanner(System.in);

		n = sc.nextInt();
		d = new long[n + 1][10]; // 길이가 N, 0~9까지 수

		// 길이가 1일때
		for (int i = 1; i <= 9; i++) {
			d[1][i] = 1;
		}

		// 2자리 부터 N자리 수 까지
		for (int i = 2; i <= n; i++) {
			// 0~9까지 탐색
			for (int j = 0; j <= 9; j++) {
				if (j == 0) {
					d[i][j] = d[i - 1][j + 1] % mod;
				} else if (j == 9) {
					d[i][j] = d[i - 1][j - 1] % mod;
				} else {
					d[i][j] = (d[i - 1][j + 1] + d[i - 1][j - 1]) % mod;
				}
			}
		}

		long result = 0;
		for (int i = 0; i <= 9; i++) {
			result += d[n][i];
		}
		result %= 1000000000L;
		System.out.println(result);
	}

}