[Algorithm] 다익스트라(Dijkstra) 최단경로 알고리즘 - Python

문지은·2023년 5월 9일

algorithm python

Algorithm with Python

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다익스트라(Dijkstra) 알고리즘을 사용하여 최단 경로 문제를 푸는 방법에 대해 알아보자.

⭐️ 최단 경로 문제

최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
다양한 문제 상황
- 한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
- 한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
- 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
각 지점은 그래프에서 노드로 표현
지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현

💫 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
- 현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않기 때문에 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다.
다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
- 매 상황에서 방문하지 않은 노드 중에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복하기 때문이다.

알고리즘 원리

출발 노드를 설정한다.
최단 거리 테이블을 초기화한다.
방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 짧은 노드를 선택한다.
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.

그래프를 통해 알고리즘 동작원리를 자세히 살펴보자.

다음과 같은 그래프가 있을 때 1번 노드에서 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 구하는 문제를 생각해보자

STEP 0

먼저 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 짧은 노드를 선택해야 한다.
출발 노드에서 출발 노드로의 거리는 0으로 보기 때문에 처음에는 출발 노드가 선택된다.

STEP 1

이제 1번 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산한다.
- 1번 노드와 연결된 모든 간선을 하나씩 확인하면 된다.
현재 1번 노드까지 오는 비용은 0이므로, 1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소비용은 차례대로 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)이다.
- 무한으로 설정되어 있는 2, 3, 4번 노드로 가는 비용을 각각 새로운 값으로 갱신한다.
처리된 결과는 다음과 같다.
- 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표시하겠다.

STEP 2

이후 단계에서도 마찬가지로 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 한다.
따라서 STEP 2에서는 4번 노드가 선택된다.
4번 노드를 거쳐서 갈 수 있는 노드를 확인한다.
- 4번 노드에서 갈 수 있는 노드는 3번과 5번이다.
4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 차례대로 4(1+3), 2(1+1) 이다.
- 이 두 값은 기존 리스트에 담겨 있던 값보다 작으므로 리스트가 갱신된다.

STEP 3

STEP 3에서는 2번 노드가 선택된다.
- 2번과 5번 노드 까지의 최단 거리가 2로 값이 같은데, 이럴 때는 일반적으로 번호가 작은 노드를 선택한다.
2번 노드를 거쳐서 도달할 수 있는 노드 중에서 거리가 더 짧은 경우가 있는지 확인한다.
이번 단계에서 2번 노드를 거쳐서 가는 경우, 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신 할 수 있는 방법은 없다.
- 예를 들어 2번 노드를 거쳐 3번 노드로 이동하는 경우, 5(2+3)만큼의 비용이 발생하지만,
- 이미 현재 최단 거리 테이블에서 3번 노드까지의 최단 거리가 4이므로 값이 갱신되지 않는다.

STEP 4

이번에는 5번 노드가 선택된다.
5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다.
- 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다.
- 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.

STEP 5

이어서 3번 노드를 선택한 뒤에 동일한 과정을 반복한다.

STEP 6

6번 노드를 선택한 후 같은 과정을 반복한다.

최종 최단 거리 테이블은 다음과 같다.

정리

최단 거리 테이블이 의미하는 바는 1번 노드로부터 출발 했을 때 2번, 3번, 4번, 5번, 6번 노드까지 가기 위한 최단 경로가 각각 2, 3, 1, 2, 4 라는 의미이다.
다익스트라 알고리즘에서는 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단 거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복한다.
- 이렇게 선택된 노드는 최단 거리가 완전히 선택된 노드이므로, 더이상 알고리즘을 반복해도 최단 거리가 줄어들지 않는다.
예를 들어, STEP 2에서는 4번 노드가 선택되어서 4번 노드를 거쳐서 이동할 수 있는 경로를 확인했다.
- 이후에 STEP 3 ~ STEP 6이 진행되었으나, 4번 노드에 대한 최단 거리는 더 이상 감소하지 않았다.
- 다시 말해 다익스트라 알고리즘이 진행되면서 한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해할 수 있다.

📝 다익스트라 알고리즘 구현하기

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

간단한 다익스트라 알고리즘은 다익스트라에 의해서 처음 고안되었던 알고리즘이며, O(V²)의 시간 복잡도를 가진다.
- V는 노드의 개수를 의미한다.
작성한 코드는 다음과 같다. (코드 출처)

import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n + 1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
    min_value = INF
    index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
    for i in range(1, n + 1):
        if distance[i] < min_value and not visited[i]:
            min_value = distance[i]
            index = i
    return index

def dijkstra(start):
    # 시작 노드에 대해서 초기화
    distance[start] = 0
    visited[start] = True
    for j in graph[start]:
        distance[j[0]] = j[1]
    # 시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
    for i in range(n - 1):
        # 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
        now = get_smallest_node()
        visited[now] = True
        # 현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
        for j in graph[now]:
            cost = distance[now] + j[1]
            # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[j[0]]:
                distance[j[0]] = cost

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

위에서 살펴본 예시를 나타낸 입력과 출력 결과는 다음과 같다.

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

힙 자료구조를 활용하면 시간복잡도 O(ElogV)를 보장하여 해결할 수 있다.
- 여기서 V 는 노드의 개수이고, E 는 간선의 개수이다.
- 힙 자료구조에 대한 설명 및 heapq 모듈 사용 방법은 이전 게시물을 참고
파이썬 라이브러리에서는 기본적으로 최소 힙 구조를 이용하는데 다익스트라 최단 경로 알고리즘에서는 비용이 적은 노드를 우선으로 하여 방문하므로, 최소 힙 구조를 기반으로 하는 파이썬의 우선순위 큐 라이브러리를 그대로 사용하면 적합하다.
- 단순히 우선순위 큐를 이용해서 시작 노드로부터 거리가 짧은 노드 순서대로 큐에서 나올 수 있도록 다익스트라 알고리즘을 작성하면 된다.

이전에 살펴본 알고리즘 원리를 우선순위 큐가 어떻게 변하는지 중심으로 살펴보자.

알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하며, 현재 가까운 노드를 저장하기 위한 목적으로 우선순위 큐를 추가로 이용한다.

STEP 0

출발 노드를 제외한 모든 노드의 최단 거리를 무한으로 설정하고 1번 노드를 우선순위 큐에 넣는다.
- 1번 노드로 가는 거리는 자기 자신까지 도달하는 거리이기 때문에 0이고,
- (거리:0, 노드:1)의 정보를 가지는 객체를 우선순위 큐에 넣으면 된다.
파이썬에서는 간단히 튜플 (0, 1)을 우선순위큐에 넣는다.
- 파이썬의 heapq 라이브러리는 원소로 튜플을 받으면 튜플의 첫 번째 원소를 기준으로 우선순위 큐를 구성한다.
- 따라서 (거리, 노드번호) 순서대로 튜플 데이터를 구성해 우선순위 큐에 넣으면 거리순으로 정렬된다.

STEP 1

거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해서는 우선순위 큐에서 그냥 노드를 꺼내면 된다.
- 거리가 가장 짧은 원소가 우선순위 큐의 최상위 원소로 위치해 있기 때문
- 우선순위 큐에서 노드를 꺼낸 뒤에 해당 노드를 이미 처리한 적이 있다면 무시하고, 아직 처리하지 않은 노드에 대해서만 처리하면 된다.
STEP 1의 우선순위 큐에서 원소를 꺼내면 (0, 1)이 나온다.
1번 노드를 거쳐서 2번, 3번, 4번 노드로 가는 최소 비용을 계산한다.
- 차례대로 2(0+2), 5(0+5), 1(0+1)이다.
최단 경로 테이블을 갱신한다.
- 이번에도 마찬가지로 현재 처리 중인 노드와 간선은 하늘색, 이미 처리한 노드는 회색, 이미 처리한 간선은 점선으로 표시하겠다.

STEP 2

원소 (1, 4)를 꺼내서 알고리즘을 수행한다.
아직 노드 4를 방문하지 않았으며, 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드가 4이다.
- 따라서 노드 4를 기준으로 노드 4와 연결된 간선들을 확인한다.
- 이때 4번 노드까지의 최단 거리는 1이므로 4번 노드를 거쳐서 3번과 5번 노드로 가는 최소 비용은 4(1+3), 2(1+1) 이다.
- 이는 기존 리스트에 담겨 있던 값들보다 작기 때문에 리스트는 갱신되고, 우선순위 큐에는 (4, 3), (2, 5)라는 원소가 추가로 들어간다.

STEP 3

원소 (2, 2)를 꺼내서 알고리즘을 수행한다.
2번 노드를 거쳐서 가는 경우 중 현재의 최단 거리를 더 짧게 갱신할 수 있는 방법은 없으므로 우선순위 큐에는 어떠한 원소도 들어가지 않는다.

STEP 4

원소 (2, 5)를 꺼내서 알고리즘을 수행한다.
5번 노드를 거쳐 3번과 6번 노드로 갈 수 있다.
- 현재 5번 노드까지 가는 최단 거리가 2이므로 5번 노드에서 3번 노드로 가는 거리인 1을 더한 3이 기존 값인 4보다 작기 때문에 새로운 값 3으로 갱신된다.
- 6번 노드로 가는 거리도 마찬가지로 4로 갱신된다.
우선순위 큐에는 (3, 3)과 (4, 6)이 들어간다.

STEP 5

원소 (3, 3)을 꺼내서 알고리즘을 수행한다.
최단 거리 테이블은 갱신되지 않으며 결과는 다음과 같다.

STEP 6

원소 (4, 3)을 꺼내 알고리즘을 수행한다.
3번 노드는 앞서 처리된 적이 있고, 현재 최단경로 또한 3이므로 무시한다.

STEP 7

원소 (4, 6)을 꺼내 알고리즘을 수행한다.

STEP 8

마지막으로 남은 원소인 (5, 3)을 꺼내지만 이미 처리된 노드이므로 무시한다.

이제 코드를 작성해보자 !

위 방법에서는 최단 거리가 가장 짧은 노드를 찾기 위해 우선순위 큐를 이용하고 있으며, 앞선 방법 1과 비교했을 때 훨씬 빠르게 동작한다.
또한 방법 1처럼 get_small_node() 함수를 작성할 필요가 없다.
- 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하는 과정을 다익스트라 최단 경로 함수 안에서 우선순위 큐를 이용하는 방식으로 대체할 수 있기 때문이다.
작성한 코드는 다음과 같다. (코드 출처)

import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n + 1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n + 1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a, b, c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heapq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n + 1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print("INFINITY")
    # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

입출력 결과는 방법 1과 동일하다.

시간 복잡도 : `O(ElogV)`

한 번 처리된 노드는 더이상 처리되지 않는다.
- 즉, 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 반복되지 않는다.
V번 반복될 때마다 각각 자신과 연결된 간선들을 확인한다.
- 따라서 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총 횟수는 총 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
전체 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
- 힙에 N개의 데이터를 모두 넣고 이후에 빼는 과정은 O(NlogN)
최대 E개의 간선을 힙에 넣었다가 다시 빼면 시간 복잡도는 O(ElogE)
- 만약 모든 노드끼리 서로 다 연결되어 있다고 하면, 간선의 개수를 약 V²개로 볼 수 있고, E는 항상 V²이하이기 때문에 다익스트라 알고리즘의 전체 시간 복잡도는 O(ElogV)라고 볼 수 있다.

📍 References

이것이 취업을 위한 코딩 테스트다 with 파이썬 - 나동빈 저
https://www.youtube.com/watch?v=acqm9mM1P6o

문지은

코드로 꿈을 펼치는 개발자의 이야기, 노력과 열정이 가득한 곳 🌈

[Algorithm] 다익스트라(Dijkstra) 최단경로 알고리즘 - Python

Algorithm with Python

⭐️ 최단 경로 문제

💫 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

알고리즘 원리

그래프를 통해 알고리즘 동작원리를 자세히 살펴보자.

STEP 0

STEP 1

STEP 2

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

정리

📝 다익스트라 알고리즘 구현하기

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

이전에 살펴본 알고리즘 원리를 우선순위 큐가 어떻게 변하는지 중심으로 살펴보자.

STEP 0

STEP 1

STEP 2

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

STEP 8

이제 코드를 작성해보자 !

시간 복잡도 : `O(ElogV)`

📍 References

[Algorithm] 이진 탐색(Binary Search) - Python

[Algorithm] Heap을 이용하여 중앙 값(Median) 찾기 - Python

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[Algorithm] 다익스트라(Dijkstra) 최단경로 알고리즘 - Python

Algorithm with Python

⭐️ 최단 경로 문제

💫 다익스트라(Dijkstra) 알고리즘

알고리즘 원리

그래프를 통해 알고리즘 동작원리를 자세히 살펴보자.

STEP 0

STEP 1

STEP 2

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

정리

📝 다익스트라 알고리즘 구현하기

방법 1. 간단한 다익스트라 알고리즘

방법 2. 개선된 다익스트라 알고리즘

이전에 살펴본 알고리즘 원리를 우선순위 큐가 어떻게 변하는지 중심으로 살펴보자.

STEP 0

STEP 1

STEP 2

STEP 3

STEP 4

STEP 5

STEP 6

STEP 7

STEP 8

이제 코드를 작성해보자 !

시간 복잡도 : O(ElogV)

📍 References

[Algorithm] 이진 탐색(Binary Search) - Python

[Algorithm] Heap을 이용하여 중앙 값(Median) 찾기 - Python

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시간 복잡도 : `O(ElogV)`