5.1.1 Frequency-Domain Sampling and Reconstruction of Discrete-Time Signals

eggmo·2024년 4월 21일

DSP

목록 보기

2/10

비주기 신호의 푸리에 변환은 식 5.1.1로 나타낼 수 있다.

X(w) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-jwn} \quad\quad\quad\quad [5.1.1]

비주기 이산 신호의 푸리에 변환은 주파수 축에서 연속적인 값을 갖는다. 연속적인 값은 곧 무한한 값이므로 컴퓨터에서 값을 처리할 수 없다. 그래서 연속적인 주파수 축을 이산 축으로 바꿔줘야 한다. 주파수 축의 간격을 $\delta w$ 라고 가정해보자.

비주기 이산 신호는 주파수 축에서 $2 \pi$ 마다 반복되므로 그 범위 내에서만 이산 축으로 바꿔준다.

만약 유효한 이산 신호의 주파수축 범위를 $0<= w <= 2 \pi$ 라고 하면 이 범위에서 간격 $N$ 으로 주파수를 선택해 이산 주파수 축으로 만드는 것이다.

이산 주파수 축에서 인접한 두 주파수 간격이 $\delta w$ 이므로 $\delta w = 2 \pi/N$ 이 성립한다. 따라서 식 [5.1.1]을 식 [5.1.2]로 다시 쓸 수 있다.

X(\frac{2 \pi}{N}k) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) e^{-j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad k = 0, 1, .... , N-1 \quad\quad\quad\quad [5.1.2]

$X(\frac{2 \pi}{N}k)$ 은 주파수 축 성분이고 $2 \pi$ 마다 반복된다. 따라서 이것을 푸리에 급수로 확장할 수 있다. 푸리에 급수는 식 [5.1.5]로, 푸리에 급수 계수는 식 [5.1.6]으로 나타낸다.

x_p(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.5]

c_k = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}x_p(n)e^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.6]

식 [5.1.2]와 식 [5.1.6]을 비교해보면 $Nc_k = X(\frac{2 \pi}{N}k)$ 를 만족한다. 따라서식 [5.1.5]는 식 [5.1.8]로 다시 쓸 수 있다.

x_p(n) = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X(\frac{2 \pi}{N}k)e^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [5.1.8]

안녕하세요eggmo입니다.