4.2.1 The Fourier Series for Discrete-Time Periodic Signals

eggmo·2024년 4월 18일
DSP디지털 신호 처리

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이산 시간 주기 신호(Discrete-Time Periodic Signals)은 이산 시간 축에서 주기를 갖는 신호이다.

주기 신호가 x(n)x(n)이고 주기가 NN이면 x(n)=x(n+N)x(n) = x(n+N)을 만족한다.

이산 시간 주기 신호를 푸리에 급수(Fourier Series)로 나타내면 식 [4.2.1]과 같다.


x(n)=∑k=0N−1ckej2πkn/N[4.2.1]x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.1]

짧게 부연 설명을 하면 푸리에 급수는 Harmonically 관계에 있는 신호의 합으로 주기 신호 x(n)x(n) 를 표현할 수 있다는 뜻이다. ej2πkn/Ne^{j 2\pi kn/N} 는 기본 주파수가 ff 이고 주기가 NN인 복소 정현파 신호의 Harmonically 신호이다. f=1Nf = \frac{1}{N} 이기 때문에 kN\frac{k}{N} 가 Harmonically 관계의 주파수인 것이다. 추가로 ckc_k는 푸리에 계수이다.

푸리에 계수 ckc_k를 구하기 위해 식 [4.2.1]을 변형해보자.

식 [4.2.1] 양변에 ∑n=0N−1\sum_{n=0}^{N-1} 을 취하고 e−j2πln/Ne^{-j2\pi l n/N}을 곱하면 식 [4.2.4]와 같다.


∑n=0N−1x(n)e−j2πln/N=∑n=0N−1∑k=0N−1ckej2π(k−l)n/N[4.2.4]\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j 2\pi ln/N} = \sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j 2\pi (k-l)n/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.4]

먼저 식 [4.2.4]의 우변의 ∑n=0N−1ej2π(k−l)n/N\sum_{n=0}^{N-1} e^{j 2\pi (k-l)n/N}을 풀어보자. 이 때 k−lk-l이 주기 NN의 배수이면 ej2π(k−l)n/Ne^{j 2\pi (k-l)n/N}는 항상 1이다. 따라서 식 [4.2.5]가 성립한다.

∑n=0N−1ej2π(k−l)n/N=N,k−l=0,±N,±2N,±3N,...\sum_{n=0}^{N-1}e^{j 2\pi (k-l)n/N} = N, \quad\quad k-l = 0, \pm N, \pm 2N, \pm 3N, ...
∑n=0N−1ej2π(k−l)n/N=0,otherwise[4.2.5]\sum_{n=0}^{N-1}e^{j 2\pi (k-l)n/N} = 0, \quad\quad otherwise \quad\quad\quad\quad [4.2.5]

그러므로 식 [4.2.4]의 우변은 식 [4.2.6]으로 다시 쓸 수 있다.

∑n=0N−1∑k=0N−1ckej2π(k−l)n/N=Ncl[4.2.6]\sum_{n=0}^{N-1}\sum_{k=0}^{N-1} c_ke^{j 2\pi (k-l)n/N} = Nc_l \quad\quad\quad\quad [4.2.6]

따라서 최종 푸리에 급수식과 푸리에 계수를 식[4.2.7], 식 [4.2.8]과 같이 유도할 수 있다.

x(n)=∑k=0N−1ckej2πkn/N[4.2.7]x(n) = \sum_{k=0}^{N-1}c_ke^{j 2\pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.7]
ck=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πkn/N[4.2.8]c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi kn/N} \quad\quad\quad\quad [4.2.8]

식 [4.2.7]을 이산 푸리에 급수(Discrete-Time Fourier Series)로 정의하고 식 [4.2.8]을 이산 푸리에 계수로 정의한다.

이산 시간 신호에서 Harmonically 관계에 있는 신호를 sk(n)s_k(n)으로 정리하면 sk(n)=sk+N(n)s_k(n) = s_{k+N}(n) 을 만족한다. 1.3.3절에서 자세히 설명했지만 기억을 위해 다시 한 번 설명한다.

기본 주파수 ff 가지는 이산 시간 신호와 Harmonically 관계에 있는 신호의 주파수는 kfkf이다. 그리고 이 주파수의 범위는 2π2 \pi에서 유효하다. 이산 신호에서 두 신호의 주파수가 2π2 \pi가 차이나면 간섭(Alias)가 일어난다. 따라서 두 신호를 구분할 수 없다. Harmonically 신호에도 동일하게 적용되기 때문에 sk(n)=sk+N(n)s_k(n) = s_{k+N}(n) 이 성립한다.

이 특성을 푸리에 계수 식 [4.2.8]에 적용해보자 그러면 식 [4.2.9]가 만들어진다.

ck+N=1N∑n=0N−1x(n)e−j2π(k+N)n/N=1N∑n=0N−1x(n)e−j2πkn/N=ck[4.2.9]c_{k+N} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi (k+N)n/N} = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x(n)e^{-j2 \pi kn/N} = c_k \quad\quad\quad\quad [4.2.9]

즉 이산 시간 신호의 푸리에 계수는 주기 nn마다 반복된다. 따라서 시간 축에서 이산 시간 신호 x(n)x(n)의 전력 밀도 스펙트럼에서는 주기 NN마다 스펙트럼이 반복된다.

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