벡터 정규화

1. 벡터 정규화(Normalization)란?

정규화는 벡터의 길이를 1로 만드는 연산이다.
어떤 벡터 $\mathbf{v} = (x, y)$가 있을 때, 그 길이는 $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$로 표현된다.
이를 정규화하면

처럼 길이가 1인 단위 벡터(Unit Vector)가 된다.

$\hat{\mathbf{v}}$는 $\mathbf{v}$의 방향만 유지한 채, 크기(길이)만 1로 만든 벡터이다.

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2. 정규화의 필요성

2.1 방향과 크기의 분리

벡터에는 크기(Magnitude)와 방향(Direction)이 동시에 존재한다.
게임 개발에서는 종종 방향만 필요로 하거나, 방향과 크기를 따로 다룰 때가 많다.

1. 카메라 이동: 원하는 방향으로 초점을 맞추고 싶을 때, 방향만 유지한 상태에서 카메라가 일정 속도로 이동하도록 만들 수 있다.
2. 조준/명중 판정: 총알(투사체)을 발사할 때, 투사체가 일정 속도로 날아가도록 방향 벡터는 정규화하고, 속도(스칼라)만 따로 곱해준다.

2.2 안전한 계산

• 거리나 충돌 판정에서 불필요하게 큰 값을 다루지 않고, 크기를 1로 맞춰놓은 후 필요하면 다시 스칼라를 곱해 사용하는 방식을 택하면 수식이 단순해진다.

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3. 주의할 점

1. 길이가 0인 벡터(Zero Vector)
   $\mathbf{v} = (0,0)$인 경우 분모가 0이 되어 정규화를 할 수 없다.
   따라서, 코드에서 정규화를 구현할 때는 보통 벡터의 길이가 0인지 먼저 확인하고,
   0이면 그대로 (0,0)을 반환하거나 에러 처리를 하는 등의 분기 처리가 필요하다.

2. 연산 비용
   정규화 과정에서는 $\sqrt{x^2 + y^2}$ 연산이 들어간다. 제곱근 연산은 비교적 비용이 큰 편이므로,
   성능에 민감한 곳에서는 가능한 한 중복 계산을 피하기 위해 캐싱하거나, 적절한 타이밍에만 정규화하는 전략이 필요하다.

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4. 간단한 예시

#include <iostream>
#include <cmath>

struct Vector2D {
    float x, y;
};

// 벡터의 길이(크기)를 구하는 함수
float magnitude(const Vector2D& v) {
    return std::sqrt(v.x * v.x + v.y * v.y);
}

// 벡터 정규화 함수
Vector2D normalize(const Vector2D& v) {
    float len = magnitude(v);

    // 길이가 0이면 정규화 불가능하므로 예외 처리
    if (len == 0.0f) {
        // 원하는 방식대로 반환. 여기서는 (0,0) 그대로 돌려줌.
        return {0.0f, 0.0f};
    }
    // 길이가 0이 아니면 x와 y를 길이로 나눠 정규화
    return { v.x / len, v.y / len };
}

int main() {
    Vector2D v = { 3.0f, 4.0f };
    Vector2D normV = normalize(v);

    std::cout << "원본 벡터: (" << v.x << ", " << v.y << ")\n";
    std::cout << "정규화된 벡터: (" << normV.x << ", " << normV.y << ")\n";
    std::cout << "정규화된 벡터 길이: " << magnitude(normV) << "\n";

    return 0;
}

실행 결과:

• 원본 벡터 $(3,4)$의 길이: 5
• 정규화된 벡터: $\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right) = (0.6, 0.8)$
• 정규화 벡터의 길이: 1

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5. 게임 내 예시

1. 캐릭터 이동 방향

   • 플레이어 입력(왼쪽/오른쪽/위/아래)을 기반으로 이동 벡터를 만든 뒤, 그 길이가 1이 되도록 정규화한 후, 속도를 곱해 이동한다.
   • 예) $\text{moveDir} = \text{normalize}(\mathbf{inputVector});$ → $\mathbf{position} += \text{moveDir} \times \text{speed} \times \Delta t.$

2. 투사체 발사

   • 발사 각도나 마우스 클릭 위치를 통해 벡터 $\mathbf{v}$를 구한 뒤, $\hat{\mathbf{v}}$로 정규화해서 일정 속도로 발사.
   • 예) $\text{bulletVelocity} = \text{normalize}(\mathbf{targetPos} - \mathbf{playerPos}) \times \text{bulletSpeed};$

3. 오브젝트 간 거리 측정

   • 거리는 $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$로 구하지만, 어떤 연산을 위해 방향(단위 벡터)만 필요하다면, 정규화를 통해 계산 과정을 단순화할 수 있다.