함수, 선형성, 선형 보간(Lerp)

김민수·2025년 2월 11일

게임수학

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1. 함수(Function)의 개념

1.1 함수의 정의

함수는 입력값(Input)에 일정 규칙(Rule)을 적용해 출력값(Output)을 결정하는 대응 관계이다.
보통 $f(x)$ 로 표현하며, $x$ 를 입력하면 $f(x)$ 를 출력한다는 뜻이다.

예시
만약 $f(x) = 2x$ 라고 할 때, $x = 3$ 이면 $f(3) = 6$ 이 된다.

1.2 정의역, 공역, 치역

정의역(Domain): 함수에 들어갈 수 있는 입력값들의 집합.
공역(Codomain): 함수가 출력할 수 있는 값들의 전체 집합(가능한 범위).
치역(Range): 함수가 실제로 만들어내는 출력값들의 집합.
- 치역은 공역의 부분집합이 될 수 있다.

1.3 단사, 전사, 전단사 함수

단사(Injective): 다른 입력이면 항상 다른 출력.
- 즉, $f(x_1) = f(x_2)$ 이면 $x_1 = x_2$ .
- 예: $f(x) = x^2$ 는 $f(2) = f(-2) = 4$ 이므로 단사가 아님.
전사(Surjective): 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 정의역 원소와 연결됨.
- 공역 = 치역인 경우를 말한다.
- 예: $f(x) = x^2$ 에서 공역을 $\mathbb{R}$ 로 잡으면 음수는 나오지 않으므로 전사가 아님.
전단사(Bijective): 단사이면서 전사인 함수.
- 전단사 함수에는 항상 역함수가 존재한다.
- 예: $f(x) = x$ 는 입력이 다르면 출력도 다르고, 공역=치역이므로 전단사 함수다.

1.4 역함수

역함수( $f^{-1}(x)$ ): 원래 함수의 출력을 입력으로 받아, 원래의 입력을 반환하는 새로운 함수.
- $f^{-1}(f(x)) = x$ .
전단사 함수가 아니면 역함수가 정의될 수 없다(단사 + 전사 조건 필요).

예시) $f(x) = 2x + 3$ 의 역함수를 구해보자.
1. $y = 2x + 3$
2. $x = \frac{y - 3}{2}$
3. $f^{-1}(x) = \frac{x - 3}{2}$

2. 게임 개발에서의 함수 예시

게임에서 함수는 캐릭터의 체력 관리, 아이템 사용, NPC 상태 업데이트 등 입력과 출력을 명확히 설정하고, 그에 따라 동작이 결정되는 메서드 형태로 자주 구현된다.

#include <iostream>
#include <algorithm> // std::max 사용

float ClampHealth(float health) {
    // 체력이 0 미만으로 내려가지 않도록 제한
    return std::max(0.0f, health);
}

int main() {
    float playerHealth = -10.0f;
    playerHealth = ClampHealth(playerHealth);

    std::cout << "Player Health: " << playerHealth << "\n"; 
    // 결과: 0, 체력이 음수로 내려가지 않도록 보정
    return 0;
}

이 예시에서, 정의역은 ‘플레이어 체력으로 가질 수 있는 모든 실수’일 수 있지만, 실제 치역은 0 이상의 값으로 제한된다.
논리적 예측 범위(체력은 절대 음수가 되지 않아야 함)를 함수로 강제함으로써 의도된 게임 동작을 보장하도록 한다.

3. 선형성(Linearity)의 개념

3.1 수학적 선형성의 정의

함수 $f(x)$ 가 가산성(Additivity)과 1차 동차성(Homogeneity)을 모두 만족할 때 선형(Linear)이라고 한다.

가산성: 두 입력 $x$ , $y$ 를 더해서 입력한 것에 대한 출력이 $x$ , $y$ 각각에 대한 출력을 합한 것과 동일한 경우
$f(x + y) = f(x) + f(y)$
1차 동차성: 어떤 함수의 입력을 $a$ 배 했을 때의 출력이 원래 입력의 출력을 $a$ 배한 것과 동일한 경우
$f(a \cdot x) = a \cdot f(x)$

3.2 선형함수 vs 일차함수

수학적 선형함수: 절편이 0인 형태, 예) $f(x) = a \cdot x$ .
- 예: $f(x) = 2x$ → $f(0) = 0$ 만족
일차함수(Affine Function): $f(x) = a \cdot x + b$ 에서 $b \neq 0$ 일 수 있어,
- 가산성과 1차 동차성을 동시에 만족하지 못해 “완전히” 선형이라 부르기 어렵다.

예시

선형함수 $f(x) = 2x$ 는 $f(x + y) = 2(x+y)$ 이며, 가산성과 1차 동차성을 충족한다.

일차함수 $f(x) = 2x + 5$ 는 $f(x + y) = 2(x+y) + 5$ 로 $f(x) + f(y) = 2x + 5 + 2y + 5 = 2(x+y) + 10$ 과 달라 선형성이 없다.

4. 선형 보간(Linear Interpolation, Lerp)

4.1 Lerp란?

선형 보간은 두 점 사이의 값을 일정 비율 $t$ 에 맞춰 계산해 부드럽게 이동 혹은 색상 변화 등을 표현하는 기법이다.
2차원 점 $(x_0, y_0)$ 과 $(x_1, y_1)$ 사이를 보간하는 식: $x(t) = (1 - t)x_0 + t x_1,\quad y(t) = (1 - t)y_0 + t y_1,\quad 0 \le t \le 1.$

4.2 C++ 예시

#include <iostream>

struct Vector2 {
    float x, y;

    // 2D 선형 보간 함수
    Vector2 LerpTo(const Vector2& target, float t) const {
        return {
            (1 - t) * x + t * target.x,
            (1 - t) * y + t * target.y
        };
    }

    void Print() const {
        std::cout << "Position: (" << x << ", " << y << ")\n";
    }
};

int main() {
    Vector2 start = {0.0f, 0.0f};
    Vector2 end   = {10.0f, 5.0f};

    for (float t = 0.0f; t <= 1.0f; t += 0.2f) {
        Vector2 interpolated = start.LerpTo(end, t);
        interpolated.Print();
    }
    return 0;
}

실행 결과:

Position: (0.0, 0.0)
Position: (2.0, 1.0)
Position: (4.0, 2.0)
Position: (6.0, 3.0)
Position: (8.0, 4.0)
Position: (10.0, 5.0)

$t$ 가 0에서 1로 증가함에 따라, 시작점에서 끝점으로 차츰 이동한다.

4.3 선형 보간의 선형성

선형 보간 함수를 $L(t, v_0, v_1) = (1 - t)v_0 + t v_1$ 라 하면,

가산성: $L(t,\, v_0 + v_0',\, v_1 + v_1') = (1-t)(v_0 + v_0') + t(v_1 + v_1') = (1-t)v_0 + t v_1 + (1-t)v_0' + t v_1'.$ 이는 $L(t, v_0, v_1) + L(t, v_0', v_1')$ 의 형태로 정리 가능하다.
1차 동차성: $L(t,\, \alpha v_0,\, \alpha v_1) = (1 - t)(\alpha v_0) + t(\alpha v_1) = \alpha \big((1 - t)v_0 + t v_1\big) = \alpha \, L(t, v_0, v_1).$
따라서 벡터 보간에서의 Lerp 연산도 선형성의 성질을 가진다.