외적

외적은 두 벡터를 입력으로 받아 새로운 벡터(3D) 또는 스칼라 값(2D)을 반환하는 연산이다.
외적을 통해 벡터들의 방향을 판별하거나 평면의 법선 벡터(Normal Vector)를 구할 수 있다.

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1. 외적의 기본 개념

2D 공간에서의 외적

• 결과값: 스칼라 값
• 의미: 두 벡터의 회전 방향을 판별 (양수 = 반시계 방향, 음수 = 시계 방향, 0 = 동일한 선상)
• 공식:
  $A \times B = A_x B_y - A_y B_x$

3D 공간에서의 외적

• 결과값: 새로운 3D 벡터
• 의미: 두 벡터에 동시에 수직한 벡터를 생성 (법선 벡터 계산)
• 공식:
  $A \times B = \begin{bmatrix} A_y B_z - A_z B_y \\ A_z B_x - A_x B_z \\ A_x B_y - A_y B_x \end{bmatrix}$

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2. 외적의 기하학적 의미

2D 공간에서의 의미

• 외적 값이 양수 → 벡터 B가 벡터 A를 기준으로 반시계 방향에 있음
• 외적 값이 음수 → 벡터 B가 벡터 A를 기준으로 시계 방향에 있음
• 외적 값이 0 → 두 벡터가 같은 직선상에 있음 (일직선)

3D 공간에서의 의미

• 외적 결과는 두 벡터가 이루는 평면에 수직한 벡터
• 오른손 법칙(Right-Hand Rule)을 사용하여 방향을 결정
  1. 첫 번째 벡터(A)를 손가락 방향으로 설정
  2. 두 번째 벡터(B)를 손바닥으로 감싸듯이 이동
  3. 엄지손가락이 가리키는 방향이 외적 결과 벡터의 방향

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3. 게임에서 외적의 활용 사례

외적은 게임 개발에서 법선 벡터 계산, 회전 방향 판별, 충돌 판정, 카메라 회전, 지형 경사 판단 등 다양한 곳에서 사용된다.

1) 방향 판별 (2D 게임에서 왼쪽/오른쪽 판별)

외적을 사용해서 특정 지점이 플레이어의 왼쪽 또는 오른쪽에 있는지 판별할 수 있다.

예제

• 플레이어 위치: $P = (0,0)$
• 플레이어가 바라보는 방향: $F = (1,0)$ (오른쪽)
• 대상 위치: $T = (0,3)$ (위쪽)

👉 타겟 방향 벡터 계산

👉 외적 계산

✔️ 결과: 양수 → 대상은 플레이어의 왼쪽에 있음

만약 대상 위치가 $T = (0,-3)$ (아래쪽)이라면:

✔️ 결과: 음수 → 대상은 플레이어의 오른쪽에 있음

📌 활용: AI의 탐색 방향 설정, 캐릭터의 이동 방향 감지 등

2) 표면의 법선 벡터 계산 (3D 게임에서 충돌 및 조명 처리)

3D 게임에서는 외적을 사용해서 법선 벡터(Normal Vector)를 계산하여 빛의 반사, 충돌 판정, 물리 연산 등에 활용한다.

예제: 삼각형의 법선 벡터 계산

📌 설정:

• 삼각형의 세 점: $P_1 = (1,0,0), P_2 = (0,1,0), P_3 = (0,0,1)$
• 두 벡터 정의:
  $V_1 = P_2 - P_1 = (-1,1,0), \quad V_2 = P_3 - P_1 = (-1,0,1)$

👉 외적 계산

✔️ 결과: 삼각형의 법선 벡터는 $(1,1,1)$, 이는 삼각형이 놓인 평면에 수직한 벡터다.

📌 활용: 빛의 반사 연산, 충돌 판정, 물리 연산 등에 사용

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4. 외적 사용 시 주의할 점

• 2D 외적은 스칼라 값이므로 방향 정보가 직접적으로 포함되지 않음 (방향은 부호로 판별)
• 3D 외적은 입력 벡터와 수직한 방향의 벡터를 반환하지만, 좌표계에 따라 해석이 달라질 수 있음
  • 언리얼 엔진: 왼손 좌표계 사용 (하지만 외적 계산 자체는 오른손 법칙을 따름)
  • Unity & 일반 3D 그래픽: 오른손 좌표계 사용