내적

김민수·2025년 2월 18일

게임수학

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내적은 두 벡터를 하나의 스칼라 값으로 변환하는 연산을 의미한다. 이 때 연산은 벡터의 방향성과 크기를 고려해서 이루어지며, 두 벡터의 방향이 같을 수록 내적 값은 커지고, 방향이 다를 수록 내적 값이 작아진다. 즉, 내적이 0이면 두 벡터가 직교(Orthogonal, 수직)하는 관계라는 의미이다.

1. 내적의 기하학적 정의

두 벡터 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 내적 은 다음과 같이 정의된다.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| \times |\mathbf{B}| \cos\theta

여기서,

$|\mathbf{A}|, |\mathbf{B}|$ 는 각각 벡터 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 의 크기(길이)
$\theta$ 는 두 벡터가 이루는 각도
$\cos\theta$ 는 두 벡터의 방향이 얼마나 유사한지를 나타냄

이 정의를 통해 내적의 몇 가지 중요한 특성을 확인할 수 있다.

1.1. 내적과 벡터의 방향성

$\cos\theta$ 값에 따라 내적의 의미가 달라진다.

$\theta = 0^\circ$ (완전히 같은 방향) → $\cos\theta = 1$
- 두 벡터가 같은 방향을 향하면 내적 값이 최대가 됨
$\theta = 90^\circ$ (서로 수직인 경우) → $\cos\theta = 0$
- 두 벡터가 직교(orthogonal)하면 내적 값이 0
$\theta = 180^\circ$ (완전히 반대 방향) → $\cos\theta = -1$
- 두 벡터가 반대 방향이면 내적 값이 최소가 됨

즉, 내적 값이 크면 두 벡터가 유사한 방향을 가짐을 의미하고, 내적 값이 0이면 두 벡터가 수직을 이룸을 의미한다.

2. 벡터의 크기(길이) 정의

벡터의 크기는 유클리드 거리(Euclidean Distance)를 이용해서 계산된다.

2.1. 2차원 벡터의 크기

벡터 $\mathbf{A} = (A_x, A_y)$ 의 크기는 다음과 같이 계산된다.

|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2}

2.2. 3차원 벡터의 크기

벡터 $\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)$ 의 크기는 다음과 같다.

|\mathbf{B}| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}

3. 내적의 성분(좌표) 기반 정의

기하학적 정의 외에도, 내적은 벡터의 성분을 이용해서 아래와 같이 계산할 수도 있다.

3.1. 2차원 내적 공식

두 벡터 $\mathbf{A} = (A_x, A_y)$ 와 $\mathbf{B} = (B_x, B_y)$ 에 대해,

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y

3.2. 3차원 내적 공식

벡터가 3차원인 경우에도 성분별로 내적을 계산할 수 있다.

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z

4. 내적의 기하학적 정의와 성분 정의의 관계

두 벡터 $\mathbf{A} = (A_x, A_y)$ 와 $\mathbf{B} = (B_x, B_y)$ 가 이루는 각도 $\theta$ 에 대해,
삼각함수를 이용하면 코사인 값은 다음과 같이 정의된다.

\cos\theta = \frac{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|}

위 식에서 성분 기반 내적 공식을 대입하면,

\cos\theta = \frac{A_x B_x + A_y B_y}{|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|}

양변에 $|\mathbf{A}| |\mathbf{B}|$ 를 곱하면,

A_x B_x + A_y B_y = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos\theta

즉, 기하학적 정의와 성분(좌표) 기반 정의가 동일함을 알 수 있다.

5. 게임에서 내적 활용 사례

내적은 게임 개발에서 시야 판별, 방향 판정, 충돌 감지, 타격 판정, 카메라 시스템 등 다양한 곳에서 사용된다.

5.1. 플레이어와 대상 물체 간의 전후방 판별

내적을 활용하면 대상이 플레이어의 앞쪽인지, 뒤쪽인지 쉽게 판별할 수 있다.

플레이어 위치: $P(x_p, y_p)$
플레이어의 정면(시선) 방향(Forward Vector): $F = (F_x, F_y)$
대상의 위치: $T(x_t, y_t)$

플레이어에서 타겟 방향을 나타내는 벡터:

T - P = (x_t - x_p, y_t - y_p)

해당 벡터와 플레이어의 정면 방향 벡터의 내적:

F \cdot (T - P) = F_x (x_t - x_p) + F_y (y_t - y_p)

내적 값이 양수 → 대상이 플레이어 앞쪽에 위치
내적 값이 음수 → 대상이 플레이어 뒤쪽에 위치
내적 값이 0 → 대상이 플레이어의 정면이나 측면에 위치
대상이 측면에 위치할 때, 왼쪽인지 오른쪽인지에 대한 판별은 외적이라는 개념으로 가능하다.

✅ 대상이 전방에 있을 때 ( $\theta = 0^\circ$ )

플레이어 위치: $P = (0,0)$
플레이어 정면 방향 벡터: $F = (1,0)$ (오른쪽을 바라봄)
대상 위치: $T = (3,0)$ (플레이어 앞쪽)

👉 타겟 방향 벡터 계산

$T−P=(3−0,0−0)=(3,0)$

👉 내적 계산

$F⋅(T−P)=(1,0)⋅(3,0)=(1×3)+(0×0)=3$

✅ 대상이 후방에 있을 때 ( $\theta = 180^\circ$ )

플레이어 위치: $P=(0,0)$
플레이어 정면 방향 벡터: $F=(1,0)$ (오른쪽을 바라봄)
대상 위치: T= $(-3,0)$ (플레이어 뒤쪽)

👉 타겟 방향 벡터 계산

$T−P=(−3−0,0−0)=(−3,0)$

👉 내적 계산

$F⋅(T−P)=(1,0)⋅(−3,0)=(1×−3)+(0×0)=−3$

✅ 대상이 정확한 좌측에 있을 때 ( $\theta = 90^\circ$ )

플레이어 위치: $P=(0,0)$
플레이어 정면 방향 벡터: $F=(1,0)$ (오른쪽을 바라봄)
대상 위치: T= $(0,3)$ (플레이어 왼쪽)

👉 타겟 방향 벡터 계산

$T−P=(0−0,3−0)=(0,3)$

👉 내적 계산

$F⋅(T−P)=(1,0)⋅(0,3)=(1×0)+(0×3)=0$

5.2. 시야각(FOV) 내 판별

게임에서 플레이어의 시야각(Field of View, FOV) 내에 오브젝트가 포함되는지 확인하는 것은 AI의 적 탐지, 슈팅 게임에서의 타겟팅, 경비 시스템 등에서 중요한 요소다.

시야각 내 판별 공식

\cos\theta = \frac{F \cdot D}{|F| |D|} = \frac{F_x D_x + F_y D_y}{|F| |D|}

이때, $\theta$ 는 플레이어의 정면 벡터 $F$ 와 타겟 방향 벡터 $D$ 가 이루는 각도다.

플레이어가 볼 수 있는 전체 시야의 각도를 $FOV$ 라고 할 때, 대상이 시야 내에 있으려면:

\cos\theta \geq \cos\left(\frac{\text{FOV}}{2}\right)

즉, 계산한 내적 값이 시야각의 코사인 값 이상이면, 대상은 시야 내에 포함된다.

✅ 시야각 판별 예제

플레이어 위치: $P=(0,0)$
플레이어 정면 방향 벡터: $F=(1,0)$ (오른쪽을 바라봄)
시야각: 90도
대상 위치: $T = (2,1)$

👉 타겟 방향 벡터 계산

D_1 = T_1 - P = (2 - 0, 1 - 0) = (2,1)

👉 내적 계산 및 코사인 값 비교

\cos\theta = \frac{(1,0) \cdot (2,1)}{|(1,0)| |(2,1)|} = \frac{(1 \times 2 + 0 \times 1)}{\sqrt{1^2 + 0^2} \times \sqrt{2^2 + 1^2}} =\frac{2}{1 \times \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \approx 0.89

시야각 90도의 임계값은 $\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$ 이다.

대상 $T$ 의 코사인 값이 0.89로 0.707보다 크므로 시야 내에 있다는 것을 알 수 있다.

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1. 내적의 기하학적 정의

1.1. 내적과 벡터의 방향성

2. 벡터의 크기(길이) 정의

2.1. 2차원 벡터의 크기

2.2. 3차원 벡터의 크기

3. 내적의 성분(좌표) 기반 정의

3.1. 2차원 내적 공식

3.2. 3차원 내적 공식

4. 내적의 기하학적 정의와 성분 정의의 관계

5. 게임에서 내적 활용 사례

5.1. 플레이어와 대상 물체 간의 전후방 판별

✅ 대상이 전방에 있을 때 (θ=0∘\theta = 0^\circθ=0∘)

👉 타겟 방향 벡터 계산

👉 내적 계산

✅ 대상이 후방에 있을 때 (θ=180∘\theta = 180^\circθ=180∘)

✅ 대상이 정확한 좌측에 있을 때 (θ=90∘\theta = 90^\circθ=90∘)

5.2. 시야각(FOV) 내 판별

시야각 내 판별 공식

✅ 시야각 판별 예제

👉 타겟 방향 벡터 계산

👉 내적 계산 및 코사인 값 비교

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✅ 대상이 전방에 있을 때 ( $\theta = 0^\circ$ )

✅ 대상이 후방에 있을 때 ( $\theta = 180^\circ$ )

✅ 대상이 정확한 좌측에 있을 때 ( $\theta = 90^\circ$ )