게임 개발에서 공간을 다루는 것은 필수적인 개념이며, 이를 위해 벡터와 행렬이 중요한 역할을 한다. 특히 객체의 이동, 회전, 크기 변환과 같은 변환(Transformation)을 효율적으로 수행하기 위해 행렬을 활용한다.
1. 공간 개념
현실 세계 vs. 가상 세계
현실 세계 : 물체는 물리 법칙을 따르며, 3차원 공간에서 위치와 크기를 가짐가상 세계 : 수학적으로 정의된 시스템으로, 벡터 공간과 행렬 연산을 통해 객체의 움직임을 표현
벡터(Vector)와 행렬(Matrix)의 역할
벡터 : 위치, 속도, 힘과 같은 물리적 특성을 표현 (예: v = ( x , y , z ) \mathbf{v} = (x, y, z) v = ( x , y , z ) 행렬 : 벡터의 변환을 담당하며, 회전, 이동, 크기 조정을 효율적으로 수행
2. 선형 변환의 특징
선형 변환 : 입력 벡터에 특정한 규칙을 적용해서 새로운 벡터를 생성하는 변환을 의미.
게임에서 캐릭터 이동, 카메라 회전, 애니메이션, 충돌 판정 등에 사용된다.
선형 변환은 벡터 공간의 성질을 유지하면서 좌표를 변경하는 수학적 연산을 수행한다.
덧셈 보존 : T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) T(\mathbf{v} + \mathbf{w}) = T(\mathbf{v}) + T(\mathbf{w}) T ( v + w ) = T ( v ) + T ( w ) 스칼라 곱 보존 : T ( c v ) = c T ( v ) T(c \mathbf{v}) = c T(\mathbf{v}) T ( c v ) = c T ( v ) c c c
3. 동차 좌표계 (2D인데 3x3 행렬을 사용하는 이유)
2D 변환을 설명하는 과정에서 3×3 행렬을 사용하는 이유는 행렬 연산에서 덧셈을 표현할 수 있도록 하기 위해서다.
이동 변환을 살펴보면, 특정 좌표를 ( d x , d y ) (dx, dy) ( d x , d y )
예를 들어, 일반적인 2×2 행렬을 사용한 변환식을 보면:
[ x ′ y ′ ] = [ a b c d ] [ x y ] \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} [ x ′ y ′ ] = [ a c b d ] [ x y ] 여기서 각 요소를 계산하면:
x ′ = a ⋅ x + b ⋅ y x{\prime} = a \cdot x + b \cdot y x ′ = a ⋅ x + b ⋅ y y ′ = c ⋅ x + d ⋅ y y{\prime} = c \cdot x + d \cdot y y ′ = c ⋅ x + d ⋅ y 그러나 이동 변환의 공식인 x ′ = x + d x x{\prime} = x + dx x ′ = x + d x y ′ = y + d y y{\prime} = y + dy y ′ = y + d y
이를 해결하기 위해 좌표를 한 차원 증가시켜 3×3 행렬을 사용 하는 것이 동차 좌표계(Homogeneous Coordinates)다. 동차 좌표계에서는 기존의 2D 좌표 ( x , y ) (x, y) ( x , y ) ( x , y , 1 ) (x, y, 1) ( x , y , 1 )
[ x ′ y ′ 1 ] = [ 1 0 d x 0 1 d y 0 0 1 ] [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 1 0 d x d y 1 ⎦ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ 이제 행렬 곱셈을 수행하면:
x ′ = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y + d x ⋅ 1 = x + d x x{\prime} = 1 \cdot x + 0 \cdot y + dx \cdot 1 = x + dx x ′ = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y + d x ⋅ 1 = x + d x y ′ = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y + d y ⋅ 1 = y + d y y{\prime} = 0 \cdot x + 1 \cdot y + dy \cdot 1 = y + dy y ′ = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y + d y ⋅ 1 = y + d y 이처럼 동차 좌표계를 사용하면 이동 변환도 행렬 곱셈으로 표현할 수 있다. 이는 회전, 확대, 축소 등의 변환을 하나의 행렬 연산으로 통합할 수 있게 해주는 중요한 개념이다.
4. 선형 변환과 행렬
게임에서 객체의 이동, 회전, 크기 변환(확대/축소) 등은 선형 변환을 통해 수학적으로 처리된다.복잡한 변환을 간단한 연산으로 수행할 수 있으며, 여러 개의 변환을 하나의 행렬로 합쳐서 최적화할 수 있기 때문 에 선형 변환은 행렬(Matrix)을 사용해서 표현된다.
5. 이동 변환
이동 변환은 객체를 특정 방향으로 ( d x , d y ) (dx, dy) ( d x , d y )
✅ 이동 변환 공식
점 ( x , y ) (x, y) ( x , y )
( x ′ , y ′ ) = ( x + d x , y + d y ) (x{\prime}, y{\prime}) = (x + dx, y + dy) ( x ′ , y ′ ) = ( x + d x , y + d y ) 이 변환은 행렬을 활용해서 표현할 수 있다.
✅ 이동 변환 행렬 (3×3 형태)
T = [ 1 0 d x 0 1 d y 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T = ⎣ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 1 0 d x d y 1 ⎦ ⎥ ⎤ 이 행렬을 이용하면 점의 이동을 간단한 행렬 연산으로 수행할 수 있다.
✅ 이동 변환 적용 방식
[ x ′ y ′ 1 ] = T × [ x y 1 ] = [ 1 0 d x 0 1 d y 0 0 1 ] × [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = T \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & dx \\ 0 & 1 & dy \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = T × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 1 0 d x d y 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ 이를 전개하면,
x ′ = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y + d x ⋅ 1 = x + d x x{\prime} = 1 \cdot x + 0 \cdot y + dx \cdot 1 = x + dx x ′ = 1 ⋅ x + 0 ⋅ y + d x ⋅ 1 = x + d x y ′ = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y + d y ⋅ 1 = y + d y y{\prime} = 0 \cdot x + 1 \cdot y + dy \cdot 1 = y + dy y ′ = 0 ⋅ x + 1 ⋅ y + d y ⋅ 1 = y + d y 이므로 이동 변환은 단순한 덧셈 연산으로 좌표를 변환하는 과정이다.
✅ 예제: P ( 3 , 4 ) P(3,4) P ( 3 , 4 ) ( d x = 2 , d y = 5 ) (dx=2, dy=5) ( d x = 2 , d y = 5 )
✔ 초기 좌표 (동차 좌표계 적용)
P = [ 3 4 1 ] P = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} P = ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 이동 변환 행렬
T = [ 1 0 2 0 1 5 0 0 1 ] T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} T = ⎣ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 1 0 2 5 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 행렬 연산 수행
[ x ′ y ′ 1 ] = [ 1 0 2 0 1 5 0 0 1 ] × [ 3 4 1 ] \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 1 0 0 0 1 0 2 5 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 계산 과정
x ′ = 1 × 3 + 0 × 4 + 2 × 1 = 5 x{\prime} = 1 \times 3 + 0 \times 4 + 2 \times 1 = 5 x ′ = 1 × 3 + 0 × 4 + 2 × 1 = 5 y ′ = 0 × 3 + 1 × 4 + 5 × 1 = 9 y{\prime} = 0 \times 3 + 1 \times 4 + 5 \times 1 = 9 y ′ = 0 × 3 + 1 × 4 + 5 × 1 = 9 ✔ 최종 결과
P ′ = ( 5 , 9 ) P{\prime} = (5,9) P ′ = ( 5 , 9 ) 즉, 점 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) ( 5 , 9 ) (5,9) ( 5 , 9 )
6. 회전 변환 회전 변환은 객체를 원점을 기준으로 특정 각도 θ \theta θ 이다.
✅ 극좌표계를 이용한 회전 변환 어떤 점 ( x , y ) (x, y) ( x , y )
x = r cos θ 0 , y = r sin θ 0 x = r \cos\theta_0, \quad y = r \sin\theta_0 x = r cos θ 0 , y = r sin θ 0
여기서 r r r r = x 2 + y 2 r = \sqrt{x^2 + y^2} r = x 2 + y 2 θ 0 \theta_0 θ 0 θ \theta θ ( x ′ , y ′ ) (x', y') ( x ′ , y ′ )
x ′ = r cos ( θ 0 + θ ) , y ′ = r sin ( θ 0 + θ ) x' = r \cos(\theta_0 + \theta), \quad y' = r \sin(\theta_0 + \theta) x ′ = r cos ( θ 0 + θ ) , y ′ = r sin ( θ 0 + θ )
✅ 삼각함수를 이용한 변환식 도출 삼각함수의 덧셈 공식을 적용하면 다음과 같이 정리할 수 있다.
코사인 덧셈 공식 cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B cos ( A + B ) = cos A cos B − sin A sin B
사인 덧셈 공식 sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B sin ( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B
이를 적용하면:
x ′ = r ( cos θ 0 cos θ − sin θ 0 sin θ ) x' = r (\cos\theta_0 \cos\theta - \sin\theta_0 \sin\theta) x ′ = r ( cos θ 0 cos θ − sin θ 0 sin θ ) y ′ = r ( sin θ 0 cos θ + cos θ 0 sin θ ) y' = r (\sin\theta_0 \cos\theta + \cos\theta_0 \sin\theta) y ′ = r ( sin θ 0 cos θ + cos θ 0 sin θ )
✅ 회전 변환 공식 이제 r cos θ 0 = x r \cos\theta_0 = x r cos θ 0 = x r sin θ 0 = y r \sin\theta_0 = y r sin θ 0 = y
x ′ = x cos θ − y sin θ x' = x \cos\theta - y \sin\theta x ′ = x cos θ − y sin θ y ′ = x sin θ + y cos θ y' = x \sin\theta + y \cos\theta y ′ = x sin θ + y cos θ
✅ 회전 변환 행렬 표현 이 공식을 행렬 연산으로 표현하면 다음과 같다.
R ( θ ) = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R ( θ ) = ⎣ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ 이를 동차 좌표계에서 적용하면:
[ x ′ y ′ 1 ] = R ( θ ) × [ x y 1 ] = [ cos θ − sin θ 0 sin θ cos θ 0 0 0 1 ] × [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = R(\theta) \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = R ( θ ) × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ cos θ sin θ 0 − sin θ cos θ 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✅ 예제: P ( 3 , 4 ) P(3,4) P ( 3 , 4 ) 9 0 ∘ 90^\circ 9 0 ∘
✔ 초기 좌표 (동차 좌표계 적용)
P = [ 3 4 1 ] P = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} P = ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 90도 회전 행렬
R ( 9 0 ∘ ) = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] R(90^\circ) = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} R ( 9 0 ∘ ) = ⎣ ⎢ ⎡ 0 1 0 − 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 행렬 연산 수행
[ x ′ y ′ 1 ] = R ( 9 0 ∘ ) × [ 3 4 1 ] = [ 0 − 1 0 1 0 0 0 0 1 ] × [ 3 4 1 ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = R(90^\circ) \times \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = R ( 9 0 ∘ ) × ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 0 1 0 − 1 0 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 계산 과정
x ′ = ( 0 × 3 ) + ( − 1 × 4 ) + ( 0 × 1 ) = − 4 x' = (0 \times 3) + (-1 \times 4) + (0 \times 1) = -4 x ′ = ( 0 × 3 ) + ( − 1 × 4 ) + ( 0 × 1 ) = − 4 y ′ = ( 1 × 3 ) + ( 0 × 4 ) + ( 0 × 1 ) = 3 y' = (1 \times 3) + (0 \times 4) + (0 \times 1) = 3 y ′ = ( 1 × 3 ) + ( 0 × 4 ) + ( 0 × 1 ) = 3 ✔ 결과 좌표
P ′ = ( − 4 , 3 ) P' = (-4,3) P ′ = ( − 4 , 3 ) 즉, 점 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) 90도 회전 후 ( − 4 , 3 ) (-4,3) ( − 4 , 3 ) 했다.
7. 크기 변환 객체를 원점을 기준으로 s x sx s x s y sy s y
✅ 크기 변환 공식
x ′ = s x ⋅ x x' = sx \cdot x x ′ = s x ⋅ x y ′ = s y ⋅ y y' = sy \cdot y y ′ = s y ⋅ y
✅ 크기 변환 행렬
S = [ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ] S = \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} S = ⎣ ⎢ ⎡ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✅ 행렬 연산 적용
[ x ′ y ′ 1 ] = S × [ x y 1 ] = [ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ] × [ x y 1 ] \begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = S \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} sx & 0 & 0 \\ 0 & sy & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = S × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ s x 0 0 0 s y 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ x y 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✅ 예제: P ( 3 , 4 ) P(3,4) P ( 3 , 4 ) x x x y y y
✔ 초기 좌표 (동차 좌표계 적용)
P = [ 3 4 1 ] P = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} P = ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 크기 변환 행렬
S = [ 2 0 0 0 3 0 0 0 1 ] S = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} S = ⎣ ⎢ ⎡ 2 0 0 0 3 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 행렬 연산 수행
[ x ′ y ′ 1 ] = S × [ 3 4 1 ] = [ 2 0 0 0 3 0 0 0 1 ] × [ 3 4 1 ] \begin{bmatrix} x{\prime} \\ y{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} = S \times \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} ⎣ ⎢ ⎡ x ′ y ′ 1 ⎦ ⎥ ⎤ = S × ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎡ 2 0 0 0 3 0 0 0 1 ⎦ ⎥ ⎤ × ⎣ ⎢ ⎡ 3 4 1 ⎦ ⎥ ⎤ ✔ 계산 과정
x ′ = 2 × 3 = 6 x{\prime} = 2 \times 3 = 6 x ′ = 2 × 3 = 6 y ′ = 3 × 4 = 12 y{\prime} = 3 \times 4 = 12 y ′ = 3 × 4 = 1 2 ✔ 결과 좌표
P ′ = ( 6 , 12 ) P{\prime} = (6,12) P ′ = ( 6 , 1 2 ) 즉, 점 ( 3 , 4 ) (3,4) ( 3 , 4 ) 크기 변환 후 ( 6 , − 12 ) (6,-12) ( 6 , − 1 2 ) 했다.
8. 복합 변환
여러 변환을 이동, 회전, 크기 변환을 하나의 변환 행렬로 결합해서 표현할 수 있다. 이를 통해 여러 변환을 한 번의 행렬 연산으로 처리할 수 있으며, 연산의 효율성을 높이고 최적화할 수 있다.
✅ 변환 행렬의 조합 변환은 특정한 순서로 적용되며, 일반적으로 다음과 같은 순서로 조합된다:
M = S × R × T M = S \times R \times T M = S × R × T 이동(T), 회전(R), 크기(S)
