삼각함수

1. 삼각함수 기초

1) 직각삼각형과 삼각비

• 직각삼각형은 한 각이 90°인 삼각형이다.

• 이 삼각형에서 특정 각도 $\theta$를 기준으로 세 변을 다음과 같이 부른다.

  • 빗변(Hypotenuse): 가장 긴 변
  • 밑변(Adjacent): 기준 각도에 인접한 변
  • 높이(Opposite): 기준 각도에 마주보는 변

• 삼각비는 이 세 변의 길이 비율로 정의된다.

  • $\sin \theta = \frac{\text{높이}}{\text{빗변}}$

  • $\cos \theta = \frac{\text{밑변}}{\text{빗변}}$

  • $\tan \theta = \frac{\text{높이}}{\text{밑변}}$

2) 삼각함수의 정의역과 공역

• $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$ 등은 실수 전체(각도를 나타내는 $\theta$가 $-\infty$부터 $\infty$까지)에서 정의할 수 있다.
• 다만, $\tan \theta$의 경우 $\cos \theta = 0$이 되는 $\theta$ 값(예: $90^\circ$, $\frac{\pi}{2}$ 등)에서는 정의되지 않으므로 주의가 필요하다.
• 공역:
  • $\sin \theta, \cos \theta$의 값 범위는 $[-1, 1]$
  • $\tan \theta$는 이론적으로 $(-\infty, \infty)$

3) 단위 원(Unit Circle)과 삼각함수

• 단위 원은 반지름이 1인 원으로, 원의 방정식은 $x^2 + y^2 = 1$이다.
• 이 원 위의 임의의 점 $(x, y)$가 각도 $\theta$를 기준으로 움직인다고 할 때,
  $x = \cos \theta,\quad y = \sin \theta$
  로 표현된다.
• 즉, 각 $\theta$에 대해 단위 원 위의 좌표가 $\left(\cos\theta, \sin\theta\right)$가 되며, 이를 통해 삼각함수를 시각화하기 쉽다.

4) 삼각함수 주요 공식

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
• 합각 공식
  $\cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
  $\sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$

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2. 각도법과 호도법

1) 각도법(도, Degree)

• 원을 360등분하여 만든 각 단위다.
• 예: $180^\circ$, $90^\circ$, $30^\circ$ 등

2) 호도법(래디안, Radian)

• 원의 반지름 길이와 같은 길이의 호(원호)가 만드는 각을 $1 \,\text{rad}$로 정의한다.
• 한 바퀴($360^\circ$)가 $2\pi \,\text{rad}$에 해당한다.
• 주요 관계식
  • $180^\circ = \pi\,(\text{rad})$
  • $1^\circ = \frac{\pi}{180}\,\text{rad}$
  • $1\,\text{rad} = \frac{180}{\pi}^\circ$

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3. 삼각함수의 게임 활용 예시

1) 캐릭터 이동 예시

아래 조건을 가정해 캐릭터를 움직이는 간단한 예제를 살펴봅니다.

변수	값	설명
초기 위치	(0.0, 0.0)	시작점
이동 각도	30도	오른쪽을 0도로 했을 때의 방향
이동 속도	200.0	초당 200 유닛 이동
총 이동 시간	1.0초	1초 동안 이동
프레임 속도(FPS)	60 FPS	$\Delta t = \frac{1}{60}$
이동 반복 횟수	60회	매 프레임마다 이동(총 60프레임)

2) 예시

#include <iostream>
#include <cmath>

#define PI 3.14159265358979323846

struct Vector2 {
    float x, y;

    void Print() const {
        std::cout << "Position: (" << x << ", " << y << ")\n";
    }
};

// 삼각함수를 이용한 이동 함수
Vector2 MoveCharacter(Vector2 position, float angleDegrees, float speed, float deltaTime) {
    float angleRadians = angleDegrees * (PI / 180.0f); // 도 -> 라디안 변환
    float dx = cos(angleRadians) * speed * deltaTime;
    float dy = sin(angleRadians) * speed * deltaTime;

    return { position.x + dx, position.y + dy };
}

int main() {
    Vector2 playerPosition = { 0.0f, 0.0f };
    float playerAngle = 30.0f;  
    float playerSpeed = 200.0f;
    float deltaTime = 1.0f / 60.0f;

    for (int i = 0; i < 60; ++i) {
        playerPosition = MoveCharacter(playerPosition, playerAngle, playerSpeed, deltaTime);
        playerPosition.Print();
    }

    return 0;
}

• 각도를 라디안으로 변환한 뒤, cos, sin 함수를 사용해 한 프레임마다 이동량($dx$, $dy$)을 구한다.
• 누적된 위치를 출력해 보면, 1초간 $(200 \times \cos 30^\circ, 200 \times \sin 30^\circ)$만큼 이동했음을 확인할 수 있다.

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4. 좌표계의 이해

1) 직교좌표계(Cartesian Coordinate System)

• 2D에서 $(x, y)$, 3D에서 $(x, y, z)$로 표현된다.
• 대부분의 게임 엔진은 물체의 위치, 이동, 충돌 등을 직교좌표계로 계산한다.

2) 극좌표계(Polar Coordinate System)

• 원점으로부터의 거리($r$)와 회전 각도($\theta$)로 위치를 표현한다.
• 회전하는 물체나 원형 패턴을 구현할 때 직관적이다.
• 좌표 변환
  • 극좌표 $(r,\theta)$ → 직교좌표 $(x,y)$
    $x = r \cos\theta,\quad y = r \sin\theta$
  • 직교좌표 $(x,y)$$ → 극좌표 $(r,\theta)$
    $r = \sqrt{x^2 + y^2},\quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$

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5. 극좌표계 게임 내에서의 예시

1) 레이더(원형 범위) 시스템

• 예: 배틀로얄 게임의 원형 안전 구역(Safe Zone)
• 플레이어와 구역 중심 간의 거리 $r$를 구해, $r \leq R_{\text{safe}}$이면 안전, 초과하면 위험 지역으로 판정 가능
• 중심을 기준으로 거리 하나만 비교하므로, 많은 오브젝트를 효율적으로 판별할 수 있다.

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// 플레이어가 안전 구역 안에 있는지 확인
bool isInSafeZone(double player_x, double player_y, 
                  double zone_center_x, double zone_center_y, 
                  double safe_radius) {
    double dx = player_x - zone_center_x;
    double dy = player_y - zone_center_y;
    double r = sqrt(dx*dx + dy*dy);
    return (r <= safe_radius);
}

int main() {
    double zone_x = 50, zone_y = 50, safe_radius = 30;
    
    double player1_x = 60, player1_y = 60; // 안전 구역 근처
    double player2_x = 90, player2_y = 90; // 훨씬 멀리 있음

    cout << (isInSafeZone(player1_x, player1_y, zone_x, zone_y, safe_radius)
             ? "Player 1 Safe\n" : "Player 1 Not Safe\n");

    cout << (isInSafeZone(player2_x, player2_y, zone_x, zone_y, safe_radius)
             ? "Player 2 Safe\n" : "Player 2 Not Safe\n");

    return 0;
}

2) 원형 패턴의 공격(Bullet Hell)

• 슈팅 게임에서 적이 방사형으로 총알을 발사할 때, 각도 $\theta$만 적절히 늘려주면 손쉽게 여러 총알의 위치를 계산할 수 있다.
• 예: 8개 총알을 등간격(각도 45° 간격)으로 배치
  $\theta_i = \frac{360^\circ}{8} \times i,\quad i = 0,1,\dots,7$
  $(x_i, y_i) = \bigl(r \cos \theta_i,\ r \sin \theta_i\bigr)$

#include <iostream>
#include <cmath>
#include <vector>
using namespace std;

struct Bullet {
    double x, y;
};

// 총알 위치를 극좌표계를 이용해 계산
vector<Bullet> generateBullets(int n, double radius) {
    vector<Bullet> bullets;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        double theta_deg = (360.0 / n) * i; 
        double theta_rad = theta_deg * M_PI / 180.0; 
        
        double x = radius * cos(theta_rad);
        double y = radius * sin(theta_rad);
        
        bullets.push_back({x, y});
    }
    return bullets;
}

int main() {
    int bullet_count = 8;
    double radius = 10.0;
    
    vector<Bullet> bullets = generateBullets(bullet_count, radius);

    for (int i = 0; i < bullets.size(); i++) {
        cout << "Bullet " << i + 1 
             << ": (" << bullets[i].x << ", " 
             << bullets[i].y << ")\n";
    }

    return 0;
}