랜더링 수학

chanykim·2020년 12월 22일

목록 보기

2/10

일차방정식

두 개의 교점으로 일차방정식을 구하려면, $(x_1,y_1), (x_2, y_2)$ 의 두개의 점이 있을 때
일차 방정식은 $y =\cfrac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}x + b$ 의 형태이다.
여기서 a는 기울기이고, b는 y절편이다. 기울기를 구하는 공식은 $\cfrac{y_2-y_1}{x_2 - x_1}$ 이다.
그리고 b는 두개의 좌표 중 하나를 넣어서 구한다.
ex) (1, 3), (2, -1)이 있다고 하면, $\cfrac{-1-3}{2 - 1}$ 로 -4가 되서
$y =-4x + b$ 이고 이 공식에 x = 1, y = 3을 넣으면 $3 =-4 + b$ 로 b가 7이 되어
일차 방정식은 $y =-4x + 7$ 이 된다.

엄청 간단하다.

두 점의 가중 평균

이것도 간단하다. $A(x_1,y_1), B(x_2, y_2)$ 이 있을 때 그 점을 잇는 선에 점M이 있다고 하자.
그 때 $M = \cfrac{A + B + B}{3}$ 로 나타내어 $M = \cfrac{A + 2B}{3}$ -> $M = \cfrac{1}{3}A + \cfrac{2}{3}B$ 가 된다.
그리고 점A부터 점M까지를 $\cfrac{2}{3}$ , 점B부터 점M까지를 $\cfrac{1}{3}$ 라 둔다.
그러면 점A부터 점B까지가 1이 되는데 여기서 $\cfrac{1}{3}$ 를 t라 두고 $\cfrac{2}{3}$ 를 (1 - t)라 한다.
그러면 $M(x,y) =(1 - t)A + tB$ 라는 수식이 완성되고,
$M(x) =(1 - t)x_1 + tx_2$ ,
$M(y) =(1 - t)y_1 + ty_2$
으로 M의 좌표를 구할 수 있다.

평면과 광선의 교차점

문제

광선 추적을 이용하여 방정식 $6x + 5y +z-30=0$ 으로 정의된 이미지 평면을 만든다.
좌표가 $(0, 0, 0)$ 인 카메라에서 나와 좌표 $(2,4,8)$ 인 픽셀을 지나는 광선을 그리고, 그 광선이
평면과 점 $I$ 에서 만난다면 $I$ 의 좌표는 무엇일까?

이러면 우선 방정식을 구한다. $(0,0,0)$ 를 점 $C$ 라 하고 좌표 $(2,4,8)$ 인 픽셀을 점 $P$ 라고 하자.
그러면 점 $C$ 에서 나와 점 $P$ 를 지나가는 광선을 매개변수화시켜서 $t$ 에 대한 함수로 나타낼 수 있다. $R(t) = (1-t)C + P$ 가 된다.

여기서 교점 $I$ 에 대한 좌표를 $R(t^*)$ 에 대해 정의하고 $t^*$ 에 대한 $I$ 좌표로 나타낼 수 있다.
$I_x = R_x(t^*) = (1 - t^*)C_x + t^*P_x$
$I_y = R_y(t^*) = (1 - t^*)C_y + t^*P_y$
$I_z = R_z(t^*) = (1 - t^*)C_z + t^*P_z$

위 공식에서 $C$ 의 점은 전부 $0$ 이고 $P$ 의 점은 $(2,4,8)$ 이므로,
$I_x = R_x(t^*) = 0 + t^*2 = 2t^*$
$I_y = R_y(t^*) = 0 + t^*4= 4t^*$
$I_z = R_z(t^*) = 0 + t^*8= 8t^*$
로 나타낼 수 있다. 이 $I$ 의 좌표를 $6x + 5y +z-30=0$ 에 넣어 $t^*$ 를 구하면 $\cfrac{3}{4}$ 이 되고 $I$ 좌표에 대입하면 $I$ 좌표는 $(1.5, 3,6)$ 이 된다.

3D 삼각형 교차점

문제

삼각형 $ABC$ 는 다음 세 점에 의해 정의 된다.
$A = (4,2,4)$
$B = (5,-5,5)$
$C = (3,-2,6)$
한 반직선이 $ABC$ 로 정의된 평면을 지나가면서 점 $I$ 를 지납니다.
$I =(3.1,-4.3,4.9)$ 라면 $I$ 는 $\vartriangle ABC$ 안에 있나요?