ODE의 해의 유일성(2)

<이 글은 아래 링크의 유투브 강의를 매우 많이 참조하였음을 밝혀드립니다.>
https://www.youtube.com/watch?v=1pE1sIINwwc&list=PLHj96QRJ0kOitUZeV9iK7cCTb8Ell7Joc&index=9

  저번 글에서는 Lipchitz condition과 Picards iteration에 대해 다루었습니다. 이번 글에서는 Banach fixed point theorem을 통해 왜 locally Lipschitz한 상황에서 Picard's iteration을 통해 미분방정식의 해를 구할 수 있는지에 대해 설명해보겠습니다.

A sketch of the proof:

  먼저 여러 가지 조건과 norm에 대해 설명을 드리고 싶습니다. 바나흐 고정점 정리는 complete space에서 정의된 closed subset $S$ 에서 $S$로의 contractive transformation $T$는 유일한 fixed point가 존재하고, 이는 $S$ 내부의 임의의 점에 대해 $T$를 무한히 반복적으로 적용할 경우 얻을 수 있었습니다.
  따라서 Picard's iteration도 마찬가지로 어떠한 신호가 complete 한 공간에 대해 정의되어 있고, 신호에 대한 Picard's operator $P$가 존재하며 contractive하며 고정점이라면, 다음과 같은 방식으로 미분방정식의 해를 구할 수 있을 것입니다.
(가정 - Sketch) 만약 초기조건 $x(0) \in \mathbb{R}$과 미분방정식 $\dot{x}=f(x)$이 주어졌을 경우, Picard's operator $P$의 고정점이 $x^*$이라고 하면,

를 만족합니다. 따라서 양 변을 미분하면

이기 때문에 $x^*$는 미분방정식의 해라고 할 수 있습니다.

Some conditions for the proof:

A condition for $\mathcal{X}$.

  따라서 우리는 어떤 집합 위에서 Picard's iteration을 할 것인지를 먼저 정의해야 합니다. 신중하게 골라진(나중에 이 표현에 대하여 설명하도록 하겠니다.) $\delta > 0$에 대해서, set $\mathcal{X}$는 interval $I=[0, \delta]$에서 정의된 함수

로 이루어져있는데, 이 함수들은 연속적이라는 특징을 가지고 있습니다. 즉 $\mathcal{X}$는 함수들의 집합이며, 이를 요약하면 다음과 같은 기호로 표현됩니다.

이 $\mathcal{X}$가 complete하기 위해서는 metric(norm)을 잘 정의해야 하는데요, 다음과 같은 sup norm을 $\mathcal{X}$에 적용하면 $\mathcal{X}$가 complete해집니다.

$x(t) \in \mathbb{R^n}$이므로, 위 식 우변은 L2 norm 이 적용 가능하다는 사실을 기억해야 합니다.
  이와 같은 metric을 통해 $\mathcal{X}$는 complete matric space가 되었습니다. 이를 통해 우리는 바나흐 고정점 정리를 활용하는 환경을 조성하게 되었습니다. 다음에 해야 할 것은 Picard's operator $P$가 contractive mapping이라는 사실을 증명해야 합니다.

Conditions for Picard's iteration.

  Picard's iteration은 $\mathcal{X}$의 부분집합 $S \in \mathcal{X}$에 대해 적용되어야 하며, Picard-Lindelof theorem에 의하면 $f$는 $x(0)$ 에서 locally Lipschitz하다는 조건을 포함하고 있었습니다. ($f$는 $t$와 관계 없는 순전히 $x \in \mathbb{R}^n$에 대한 함수입니다.) Locally Lipschitz 조건과 Picard-Lindelof theorem을 다시 가져와보면 다음과 같습니다.

[점에 대한 Lipshitz condition] Definition of locally Lipschitz condition) 함수 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$는 다음과 같은 조건을 만족할 경우, $x$에서 locally Lipschitz하다고 한다. $\epsilon>0$에 대해, 만약 $B(x, \epsilon)$를 $x$에 대한 $\epsilon$ neighborhood라고 하면

Theorem) (Picard-Lindelof theorem) 함수 $f:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$가 $z \in \mathbb{R}^n$에서 locally Lipschitz 하다고 하자. $\delta>0$에 대해 interval $t \in [0, \delta]$에서 초기조건 $x(0)=z$를 갖고, $\dot{x}=f(x)$를 만족하는 해 $x \in \mathcal{X}$가 유일하게 존재하도록 만드는 상수 $\delta$가 존재한다.

A trivial case for Picard-Lindelof theorem.

  초기조건이 $x(0) \in \mathbb{R^n}$으로 주어지고, interval $I=[0, \delta]$에서 계속 초기조건을 갖는 함수(신호) $x_0=\varphi_0$가 있다고 합시다. 이 $x_0$는 $x_0 \in \mathcal{X}$를 만족하며, $\dot{x_0}=f(x_0)=\theta$ 라는 미분방정식은 $x(0)$에서 locally Lipschitz 조건을 만족합니다. 따라서 임의의 $t' \in I$에 대해

일 경우, $f(\varphi_0(t)) = \theta$이기 때문에 $\varphi_{1}(t')=\varphi_0(t')$입니다. 마찬가지로 $k \in \mathbb{N}$에 대해 $\varphi_k(t') = \varphi_0(t')$ 입니다. 결과적으로 $\varphi_k \in \mathcal{X}$임을 볼 수 있습니다.

A condition for domain $S \subseteq \mathcal{X}$ of $P$.

  $\mathcal{X}$는 interval $I$ 내에서 정의된 모든 연속인 함수들의 집합이기 때문에, 임의의 $r > 0$에 대해 $S=\{x \in \mathcal{X} : \, ||x - x_0||_{sup} \le r\}$은 $\mathcal{X}$의 부분집합이라는 사실을 알 수 있습니다.(i.e., $S \in \mathcal{X}$) 또한 $S$는 $\mathcal{X}$의 closed subset이기 때문에 바나흐 고정점 정리를 활용하는 조건 중 하나를 충족하게 되었습니다.

서론이 너무 길었네요. 본격적인 증명은 다음 글에서 다루겠습니다. 감사합니다!