미분방정식

미분방정식: dy/dx가 포함되어 있는 방정식. 미분방정식의 해는 y에 관한 식이다.

• 선형 미분방정식: 도함수(dy/dx)의 계수가 1차이고, 변수가 독립변수(x)로 이루어져 있는 미분방정식

• 비선형 미분방정식: 선형 미분방정식이 아닌 미분방정식

• 계수와 차수

1. 변수분리형 미분방정식

2. 동차미분방정식

M과 N은 x와 y로만 이루어져야 한다. (상수항이 없어야 한다.)

1. M과 N이 동차임이 확인 되면 y = ux 또는 x = vy로 치환한다.
   (이 때 dy = udx + xdu, dx = vdy + dvy이 된다.)

2. 공통 변수를 삭제하고 식을 정리하면 변수분리형 미분방정식이 된다.

3. 완전미분방정식

어떤 함수 f(x, y)를 편미분하면 fx = M(x, y), fy = N(x, y)가 된다.

1. fx를 x에 대해 적분하여 f(x,y)를 구한다. (g(y)는 상수)

2. f(x,y)를 y에 대해 편미분하여 g'(y)를 구한다.

3. g'(y)를 적분하여 f(x,y)를 구한다.

4. 불완전미분방정식

미분방정식이 다음과 같은 형태이지만,

완전미분방정식과 달리 다음과 같을 때

M과 N에 같은 식(적분인자)을 곱하면 위 조건을 만족하게 되는 미분방정식이다.

적분인자를 구하는 방법은 다음과 같다.

5. 1계 선형 미분방정식

다음과 같이 표준형으로 바꾸어 풀이한다.

• 제차: r(x) = 0

• 비제차: r(x) != 0

제차형 1계 선형 미분방정식의 일반해는 다음과 같다.

비제차형 1계 선형 미분 방정식의 일반해는 다음과 같다.

6. 베르누이 미분방정식

위의 형태에서 n이 0이면 제차형 1계 선형 미분방정식, n이 1이면 변수분리형 비선형 미분방정식이다.

1. 양 변을 y^n으로 나눠준다.

2. y^(1-n)을 u로 치환한다.

3. 위 식을 x로 미분한다.

4. dy/dx를 원래 식에 y^n를 나누어준 식에 대입한다.

5. u에 관한 1계 선형 미분방정식을 푼다.

6. u를 y로 바꿔준다.

7. 리카티 미분방정식

다음 형태의 미분 방정식이 있을 때

특수해 y = 2x를 구할 수 있다.

특수해를 이용하여 다음과 같은 일반해를 가정할 수 있다.

이것을 기존 미분방정식에 대입하면

u와 x로 이루어진, n이 2인 베르누이 미분방정식이 된다.

8. 2계 선형 미분방정식

상수계수 제차 2계 미분방정식

해를 다음과 같이 가정하면

미분방정식은 다음과 같은 형태가 된다.

1. 서로다른 두 실근

2. 중근

3. 서로다른 두 허근

오일러-코시 미분방정식

해를 다음과 같이 가정한다.

다음과 같은 형태가 된다.

1. 서로다른 두 실근

2. 중근

3. 서로다른 두 허근