행렬곱 as Composition | Chapter 4, Essence of Linear Algebra [3Blue1Brown]

Comment :

선형 결합(Linear Combination)(벡터에 Scalar를 곱하는 상수배, 즉 Scaling 그리고 벡터끼리의 합)만으로도 이해할 수 있는 선형 변환(Linear Transformation)에 대해서 배워보았다. 벡터공간의 좌표계을 구성하는 기저벡터만 알고있으면 '변환'을 할 수 있고, 그 기저벡터를 행렬(Matrix)으로 표현하여 벡터에 곱해주는 것이 선형 변환을 계산하는 방법이란 것을 알 수 있었다.

Review

Technically speaking, Linear Transformation are functions with vectors as inputs and vectors as outputs, but I showed last time how we can think about them visually as smooshing around space in such a way that grid lines stay parallel and evenly spaced, and so that the origin remains fixed.

The Key of Linear Transformation is basis vectors $\hat{i}, \hat{j}$. This is because any other vector could be described as a linear combination of those basis vectors.

---

01. 행렬곱

간단한 퀴즈를 통해 아래와 같은 상황을 생각해보자. (기저벡터 $\hat{i}$=[1,0], $\hat{j}$=[0,1]가 구성하는 벡터공간 내 존재하는) 벡터 $\vec{v}$ = [x,y] 를 아래와 같이 변환시키려면 어떻게 할까?

1. CounterClockWise로 90도 회전
2. (1칸의 Grid가 오른쪽으로 45도정도로) Shear

먼저 반시계방향으로 90도 회전하면 원래의 기저벡터는 아래와 같이 변할 것이다.

그러면 Step 1.까지 변환된 벡터는 아래와 같다.

그다음 Shear(전단, 즉 짜부)하면 기저벡터는 아래와 같이 변할 것이다.

그러면 Step 2.까지 변환된 벡터는 아래와 같다.

[!] 음 그러니까, 여러번의 선형변환을 한다하였을때 어차피 맨 마지막의 기저벡터 값만 알고 있으면 되는거임. (CCW로 90도 회전, CW로 90도 회전하면 원래와 동일한것처럼...)

---

이번에는 앞서 진행하였던 선형 변환을 끊어서 생각해보자

• CounterClockWise 90도 회전
• Shear

각 선형변환의 기저벡터는 아래와 같다. (각각의 선형 변환을 하면 기저벡터가 어떻게 되어있을지 상상하면 된다)

각각의 선형 변환의 Function인(?) Matrix를 나타내보면 아래와 같다.

이제 (일반적으로 알고 있는 공식으로) 두 행렬을 곱해보자.

행렬 곱

$\downarrow$ 2x2 행렬 두개를 곱할때

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a \cdot e + b \cdot g & a \cdot f + b \cdot h \\ c \cdot e + d \cdot g & c \cdot f + d \cdot h \end{bmatrix}$

[!] Rotation먼저, Shear나중의 순서 중요

두 번의 선형변환을 진행한 후의 기저벡터들(1)과 각각의 선형변환을 행렬곱한(2) 두 수식을 봐보자.

그렇다. 위 설명한 내용을 쭉 보면 아래와 같은 내용을 알 수 있다.

• 행렬, 즉 Matrix를 벡터에 곱하는 것은 선형변환을 의미
• 각기 다른 선형 변환을 여러번 수행 $=$ 최종 기저벡터로의 선형 변환
• (선형변환하는 순서, 즉 행렬곱의 순서만 지킨다면) 벡터에 행렬곱하는것을 여러번 수행 $=$ 여러 행렬을 먼저 곱한 뒤 벡터에 행렬곱

[+] composition : 합성, 배합, 배치 ex) Function Composition, 합성함수

위 첫번째 그림 좌측 수식처럼 벡터에 각각의 선형변환(Rotation, Shear)을 진행하여도 우측 수식처럼 두 개의 선형변환 결과물 행렬(Rotation+Shear)임을 알 수 있다.

[+][!] 여기서 (중고등학교때 배운) 행렬곱 공식과 (이번에 배운) 선형변환과의 연결고리를 알 수 있다.
아래 수식에서 선형변환을 하지 않은 (초기)벡터 $\vec{v}=[x,y]$의 기저벡터 $\hat{i}=[1,0]$, $\hat{j}=[0,1]$에서 $\hat{i}$에만 초점을 맞춰보자.

위와 같은 선형 변환을 통해서 원래의 기저벡터 $\hat{i}=[1,0]$은 $\hat{i}_1=[a,c]$로 변환이 되었다. 여기서 한번 더 선형변환을 해준다면... ( $\hat{i}_1$ 에만 초점을 맞춘다)

(중고등학교때 배운) 행렬곱 공식이 슬슬 보인다.

사실 행렬과 벡터의 곱을 통한 선형변환은 기저벡터의 변환으로 생각할 수 있다. 위 (3)수식처럼 벡터 $\vec{v}$의 기저벡터는 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ 처럼 표현할 수 있으며 이 행렬과 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$와의 곱은 그냥 그대로 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$이 된다. 즉 선형변환 후 기저벡터가 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$라는 뜻.

그렇다면 또 한번의 선형변환을 할 경우 위 기저벡터 $\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} a\\ c\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}$ 각각이 선형변환됨을 의미한다.
따라서 편의상 첫번째 기저벡터 $\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}$를 $\begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix}$를 통해 선형변환하는 것이 (4) 수식이다. 이제 아래와 같이 행렬곱 공식과 각 기저벡터를 선형변환하는 것을 비교해보면...

🔰 먼저 행렬곱 공식

🔰 그 다음 벡터의 선형변환 (4) 수식

(5)수식의 (첫번째) 기저벡터와 (4)수식의 값은 동일함을 알 수 있다.

이제 행렬곱 공식과 벡터의 선형변환과의 연결고리를 알 수 있다. (뭐... 다르게 말하자면 두 행렬, 즉 Matrix의 곱을 두가지 방식으로 생각하여 할 수 있다라고 알고 있으면 될것같다)

✅ Quiz - 행렬곱셈의 결합법칙(Associativity)

행렬, 즉 Matrix $A,B,C$에 대해서 아래의 수식이 성립하는지를 확인하라

$(AB)C=A(BC)$

Answer : 이를 수식적으로 생각하여 증명할 수 있으나 아주 간단하게 선형변환 개념으로 생각하면 그냥 성립함을 간단하게 알 수 있다.