평균의 종류(산술평균, 기하평균, 조화평균)

궁금증이 생기게 된 계기

• 모델의 성능을 평가하는 F1-score는 Precision과 Recall의 조화 평균을 사용하는 것을 보고 어떤 상황에 어떤 평균을 써야하는지에 대한 궁금증이 생기게되어 이 글을 포스팅하게 되었습니다.

1. 산술평균

• 일상 생활에서 가장 많이 사용하는 평균
• 각 요소의 총 합을 갯수로 나눈 것
  

2. 기하평균

• 각 요소를 곱한후 그 값에 루트를 씌운 값
• 일반적으로 성장률의 평균 등 상승률과 하락률을 활용한 계산에 유용하게 쓰임
  

  예를 들어 1,000원의 주식이 10% 상승 후 10% 하락 했을 경우 산술적인 개념만 본다면 상승 +10% 하락 -10%로 ±10%이기 때문에 직관적으로 잘못 생각하여 가격 변동이 없다고 착각할 수 있습니다.
  하지만, 1,000원이 10% 상승하면 → 1,100원이 되고 1,100원이 10% 하락하면 → 990원이 됩니다.
  위 내용처럼 1,000원 짜리 주식이 990원이 되는 것을 상승률 10% 와 하락률 10%에 대한 기하 평균을 활용하여 계산해줄 수 있는데요.
  수식으로 표현해보면 $\sqrt{1.1 \times 0.9}$ = 0.99 → 1,000원 $\times$ 0.99원 = 990 라는 결과를 얻을 수 있습니다.

3. 조화평균

• 각 요소의 역수를 산술평균한 후 그 값을 다시 역수로 변환한 것
• 왕복속력을 계산할때, F1-Score 계산시 주로 사용
  

  예를 들어 두 지점 A, B에 대하여 갈때는 시속 10Km/h, 올때는 시속 20Km/h로 왕복했다면,
  평균속력은 조화평균인 13.33Km/h가 됩니다.
  ${(1/10 + 20/1)}^{-1}$ = ${2 \times (3/20)}^{-1}$ = $40 \div 3$ = $13.33$

4. 산술평균 ≥ 기하평균 ≥ 조화평균

• 수식

  • 

• (심화1) 산술평균 vs 기하평균 vs 조화평균 간의 관계

  • 각 평균의 종류의 상대적인 크기는 산술평균 > 기하평균 > 조화평균
  • 1~10까지의 평균값은 5.5인데 단순 100이라는 이상치가 끼어들면서 산술평균이 가장 많이 상승함
  • 이는 평균의 대표성을 띄고 있지 못하다고 판단할 수 있음
  • 따라서, 상황에 따라서 적합한 대표성을 띄는 평균을 사용해야할 것이다.
    

• (심화2) 조화평균 및 F1-score의 기하학적 의미

  • 아래 그림에서 서로 다른 길이의 A, B의 끝에서 다른 쪽의 base라인으로 선을 내렸을때, 만나는 점의 길이
    
  • F1-score의 기하학적 의미
  • 기하학적으로 봤을때 단순 평균이라기보다는 작은 길이 쪽으로 치우치게된, 그러면서 작은 길이 보다도 작은 평균이 도출됨
  • 이렇게 조화평균을 이용하면 산술평균을 이용하는 것보다, 큰 비중이 끼치는 bias가 줄어든다고 볼 수 있음
  • 즉, 아래 그림에서는 Precision보다 큰 길이(=비중)을 차지하는 Recall이 끼치는 bias가 줄어든 값으로 F1-score를 얻게됨
    

References

• https://www.sysfund.com/191
• https://sumniya.tistory.com/26