[수학] 미분

장브로·2024년 1월 18일
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미분

정의

미분(Derivative)이란 어떤 함수의 특정 지점에서의 순간적인 변화율을 이야기 한다. 함수f(x)f(x)가 어떤 실수 xx에 대한 변화를 나타낸다고 할 때 f(x)f(x)의 미분이란 x가 아주 조금 변했을때, f(x)f(x)가 얼마나 변하는지를 나타내는 것이 미분이다. 쉽게 이야기 하자면, 대나무 숲에 있는 대나무가 지난 얼마만큼의 기간 동안 얼마만큼 자랐으니 다음 기간동안엔 얼마나 자랄까? 라는 문제에 대해 해결방법을 찾는 것이다. 이 문제에 대해 "대충 일주일동안 1미터 자랐으니 다음 1주일동안 1미터 자라겠지..."라는 정도로 게으른 예측을 할 수도 있겠지만 이럴 경우 시간(Δx\Delta x)이 대나무에 생장에 대해 얼마나 영향을 미치는지 정확히 파악하고 해설 할 수가 없다. 미분은 이런 문제에 대해 순간적인 변화를 찾아 낸다. 일주일의 데이터로 일주일을 예측하는 것보다 하루치 데이터로 하루를 예측하는 것이 더 정확할 것이기 때문에 한시간, 분, 초, 밀리초 단위... 이처럼 연속된 값을 한없이 0에 가까운 순간으로 확대해서 자르고 그 다음 지점에 대한 변화율(기울기)값을 구하는 것이 미분이다. (내생각은... 한 없이 작은 순간의 시간이 대나무의 성장에 대해 미치는 영향을 최대한 정확하게 파악하여 상수로 둔다면, 대나무의 성장에 영향을 미치는 다른 요소들에 대해 파악하고 조정하는데 도움이 될것 같다.)

Formula

f(x)=limΔx0f(x+Δx)f(x)Δxf\prime(x) = \lim_{\Delta{x\to0}}\frac{f(x+{\Delta{x}})-f(x)}{\Delta{x}}

  • f(x)f\prime(x) : 함수f(x)f(x)의 도함수(에프 프라임 엑스라고 읽는 듯...) 순간적인 변화율, 즉 기울기 값을 의미한다.
  • limΔx0\lim_{\Delta{x\to0}} : 변화를 유발하는 Δx\Delta{x} 가 연속적으로 0에 무한히 가까워 질 때의 한계를 의미한다.
  • f(x+Δx)f(x)Δx\frac{f(x+{\Delta{x}})-f(x)}{\Delta{x}} : x에서 Δx\Delta{x}까지 함수 f(x)f(x)의 평균 변화율을 나타낸다.

거듭제곱 법칙의 적용

함수 f(x)=xnf(x)=x^n(n은 실수) 의 형태일 때 곱셈공식에 의해 f(x+Δx)f(x+{\Delta{x}})xn+nxn1Δx+더높은차수의항들x^n+nx^{n-1}\Delta{x}+더 높은 차수의 항들로 전개가 된다. 이후로,

  • 도함수는 f(x)=(xn+nxn1Δx+더높은차수의항들)xnxnf\prime(x)=\frac{(x^n+nx^{n-1}\Delta{x}+더 높은 차수의 항들)-x^n}{x^n}이된다.
  • xnx^n은 상쇄되어 사라지고, f(x)=xn+nxn1Δx+더높은차수의항들f\prime(x)=x^n+nx^{n-1}\Delta{x}+더 높은 차수의 항들 의 형태가 된다.
  • Δx\Delta{x}가 0으로 접근할 때 Δx\Delta{x}를 포함하는 항들이 Δx\Delta{x}로 나뉘어지면서 nxn1nx^{n-1} 의 항만 남게 되고, 나머지 항은 사라진다. (극한의 정의에 대해서도 공부를 해야할듯 하다)
  • 따라서 f(x)=nxn1f\prime(x)= nx^{n-1}의 형태가 된다.

한마디로

함수 f(x)=xnf(x)=x^n의(n은 실수) 도함수를 구하기 위해서 f(x)=nxn1f\prime(x)= nx^{n-1} 으로 계수를 내리고 지수를 1-1 한다.

  • f(x)=x2f(x)= x^2의 경우, 도함수는 f(x)=2x21=2xf\prime(x)= 2x^{2-1} = 2x
  • f(x)=x3f(x)= x^3의 경우, 도함수는 f(x)=3x31=3x2f\prime(x)= 3x^{3-1} = 3x^2
  • f(x)=x4f(x)= x^4의 경우, 도함수는 f(x)=4x41=4x3f\prime(x)= 4x^{4-1} = 4x^3
  • f(x)=x5f(x)= x^5의 경우, 도함수는 f(x)=5x51=5x4f\prime(x)= 5x^{5-1} = 5x^4

조금더 정리하면...

  • 파란색 곡선 : f(x)=x2f(x)=x^2의 그래프로 x=0x=0일때 최소값은 0이다
  • 빨간색 X : xx가 3일경우 f(3)=32=9f(3) = 3^2 = 9를 나타내는 점으로 함수의 그래프와 접선이 만나는 지점이다.
  • 녹색 직선 : 접선으로써 x=3x=3일때의 그 순간의 기울기(변화율)을 나타낸다. f(3)=32=9f(3) = 3^2 = 9 일때 f(3)=32=6f\prime(3) = 3 * 2 = 6 이다. (x=3x=3일때의 기울기는 y=6(x3)+9y=6(x-3)+9로, y=6x9y=6x-9가 된다.)
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이제 진짜 개발하려구요!

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