Lemma 1.30 증명

이번 포스팅에서는 Lemma 1.30에 대해서 증명 해 보겠습니다.

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Lemma 1.30

$(y-x>1 \Rightarrow \exist z \in \mathbb{Z} \;\; \text{where} \;\; x < z < y)$. Let $x,y \in \mathbb{R}$. If $y-x>1$, then there exists $z \in \mathbb{Z}$ such that $x < z < y$.

증명

$x, y$를 적어도 $0$이상의 수라고 가정 하겠습니다. 또한 집합 $A=\{n \in \mathbb{N}_0 : n \leq x \}$를 잡겠습니다. 여기서 $\mathbb{N}_0=\mathbb{N} \cup \{0\}$ 입니다.

가정으로 부터 $x \geq 0$ 이므로 $A$는 공집합이 아닌 유한집합니다. 또한 $x$에 의해서 $A$는 위로 유계입니다. 그러므로 $\text{max}(A) \in A$가 존재 함을 알 수 있습니다. 이것을 최대원소 $M$이라고 하겠습니다.

여기서 $z:=M+1$이라고 선언 하겠습니다. 그러면 $M \in \mathbb{N}_0$이므로 $z \in \mathbb{N}_0$입니다. 또한 $z$는 $A$의 최대 원소인 $M$보다 크므로 $z$는 $A$의 원소가 아닙니다.

이 사실은 $x < z$임을 함의 합니다.

그러면 $M \leq x \Rightarrow M+1 \leq x+1 <y$ 입니다.

그렇다면 $z:=M+1$이므로 $z<y$입니다.

결론적으로 우리는 $x < z< y$임을 보였습니다.

다음으로 $x, y$가 음수라고 가정 하겠습니다.

그리하면 $-x$와 $-y$에 대해서 조건 $x < z < y$를 생각 해 보면 $-y < z < -x$가 됩니다.

이 경우 $-z$일 경우 성립 함을 알 수 있습니다.

마지막으로 $x, y$에서 둘 중의 하나는 양수 나머지는 음수인 경우를 가정 하겠습니다.

그리하면 $z=0$은 자명합니다. $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)