Defn. 1.29.(Dense 정의)

이번 포스팅에서는 Defn. 1.29.에 대해서 알아 보겠습니다.

Definition 1.29.

Suppose $A$ and $B$ are ordered field (like $\mathbb{R}$). Then $A$ is dense in $B$ if for any $x,y \in B$, there exists $a \in A$ such that $x < a < y$

해석

위의 정의에 따르면 $\mathbb{Q}$는 $\mathbb{Q}$안에 dense 되어 있다고 할 수 있습니다. 그 이유는 임의의 주어진 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해서 $a=\frac{x+y}{2}$라고 잡으면 $a \in \mathbb{Q}$이고 $x < a < y$라고 보일 수 있기 때문입니다.

또한, $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$는 $\mathbb{Q}$안에 dense 되어 있다고 할 수 있습니다. 그 이유는 어떤 주어진 $x,y \in \mathbb{Q}$에 대해서 $a=\frac{x+y}{\sqrt{2}}$라고 잡으면 $a \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$이고 $x < a < y$라고 보일 수 있기 때문입니다.

한편 $\mathbb{Z}$는 $\mathbb{Q}$안에 dense 되지 않습니다.