Prop. 1.12(부등식) 증명

이번 포스팅에서는 $|a| \leq b$ iff $-b \leq a \leq b$ 에 대해서 증명 해 보겠습니다.

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우리가 증명 해야할 부등식의 정의를 살펴 보겠습니다.

P.15 Prop. 1.12 $(|a| \leq b \;\; \text{iff} \; -b \leq a \leq b)$.

• If $\mathbb{F}$ is an ordered field (like $\mathbb{R}$) and $a,b \in \mathbb{F}$, then

증명

먼저 정방향에 대해서 증명 하겠습니다. $\Rightarrow$

$|a| \leq b$ 을 가정 하겠습니다.
부등식의 양변에 $-1$ 을 곱하겠습니다.
그러면, $-|a| \geq -b$ 이 됩니다.
우리는 부등식의 속성으로 부터 $-|a| \leq a \leq |a|$ 된다는 사실을 알고 있습니다. - $(1)$
우리는 현재 가정인 $|a| \leq b$ 과 그로부터 유도 된 $-|a| \geq -b$을 가지고 있습니다. - $(2)$
그리하면 $(1)$과 $(2)$로 부터 $-b \leq -|a| \leq a \leq |a| \leq b$를 유도 할 수 있습니다.
그리고 이 것은 $-b \leq a \leq b$ 이 됨을 함의 합니다.

다음으로 역방향에 대해서 증명 하겠습니다. $\Leftarrow$

$-b \leq a \leq b$ 를 가정 하겠습니다.
그리고 이 가정은 다음의 두 개의 부등식으로 나눌 수 있습니다.
$-b \leq a$, $a \leq b$

우리가 함의의 대상으로 증명을 보여야 하는 부등식인 $|a| \leq b$에 절댓값 $|a|$가 포함 되어 있기 때문에 절댓값의 정의에 따라 두 가지 케이스로 나눠서 증명을 수행 해야 합니다.

Case 1: $a \geq 0$
만약 $a \geq 0$ 라고 가정 하면 절댓값의 정의에 따라 $a=|a|$입니다.
그리고 이것은 $a \leq b \Rightarrow |a| \leq b$ 를 의미 합니다.

Case 2: $a < 0$
만약 $a < 0$ 라고 가정 하면 절댓값의 정의에 따라 $-a=|a|$입니다.
결과의 양변에 -1을 곱하면 $a=-|a|$가 됩니다.
그리고 이것은 $-b \leq a \Rightarrow -b \leq -|a| \Rightarrow |a| \leq b$ 입니다.

우리는 양방향에 대해서 참임을 보임으로써 Prop. 1.12 참임을 보였습니다. $\blacksquare$

참고문헌

• Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)