삼각 부등식 증명

이번 포스팅에서는 해석학에서 아주 중요한 삼각 부등식에 대해서 증명 하겠습니다.

Scratch Work

삼각 부등식 정리는 다음과 같습니다.

Thm. 1.13 (The trangle inequality)

• if $\mathbb{F}$ is an ordered field (like $\mathbb{R}$) and if $x,y \in \mathbb{F}$, then $|x+y| \leq |x|+|y|$

증명의 목표는 $|x+y| \leq |x|+|y|$을 보이는 것입니다.

그런데 Prop. 1.12 증명으로 부터 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.

그런데 부등식 $-|x|-|y| \leq x+y \leq |x|+|y|$ 은 다음과 같이 두 개로 분리 할 수 있습니다.

$(1) \; -|x| \leq x \leq |x|$
$(2) \; -|y| \leq y \leq |y|$

증명

$\forall x,y \in \mathbb{F}$로 부터 $(1),(2)$ 두 개의 부등식을 정의 할 수 있습니다.

그런데 $(1),(2)$ 두 개의 부등식에 대해서 덧셈을 수행 하면 $-|x|-|y| \leq x+y \leq |x|+|y|$ 부등식을 얻습니다.

그리하면