이번 포스팅에서는 ∣a∣≤b iff −b≤a≤b 에 대해서 증명 해 보겠습니다.
Scratch Work
우리가 증명 해야할 부등식의 정의를 살펴 보겠습니다.
P.15 Prop. 1.12 (∣a∣≤biff−b≤a≤b).
- If F is an ordered field (like R) and a,b∈F, then
(∣a∣≤bif and only if−b≤a≤b)
증명
먼저 정방향에 대해서 증명 하겠습니다. ⇒
∣a∣≤b 을 가정 하겠습니다.
부등식의 양변에 −1 을 곱하겠습니다.
그러면, −∣a∣≥−b 이 됩니다.
우리는 부등식의 속성으로 부터 −∣a∣≤a≤∣a∣ 된다는 사실을 알고 있습니다. - (1)
우리는 현재 가정인 ∣a∣≤b 과 그로부터 유도 된 −∣a∣≥−b을 가지고 있습니다. - (2)
그리하면 (1)과 (2)로 부터 −b≤−∣a∣≤a≤∣a∣≤b를 유도 할 수 있습니다.
그리고 이 것은 −b≤a≤b 이 됨을 함의 합니다.
다음으로 역방향에 대해서 증명 하겠습니다. ⇐
−b≤a≤b 를 가정 하겠습니다.
그리고 이 가정은 다음의 두 개의 부등식으로 나눌 수 있습니다.
−b≤a, a≤b
우리가 함의의 대상으로 증명을 보여야 하는 부등식인 ∣a∣≤b에 절댓값 ∣a∣가 포함 되어 있기 때문에 절댓값의 정의에 따라 두 가지 케이스로 나눠서 증명을 수행 해야 합니다.
Case 1: a≥0
만약 a≥0 라고 가정 하면 절댓값의 정의에 따라 a=∣a∣입니다.
그리고 이것은 a≤b⇒∣a∣≤b 를 의미 합니다.
Case 2: a<0
만약 a<0 라고 가정 하면 절댓값의 정의에 따라 −a=∣a∣입니다.
결과의 양변에 -1을 곱하면 a=−∣a∣가 됩니다.
그리고 이것은 −b≤a⇒−b≤−∣a∣⇒∣a∣≤b 입니다.
우리는 양방향에 대해서 참임을 보임으로써 Prop. 1.12 참임을 보였습니다. ■
참고문헌
- Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)