카지노 게임 크랩스 (두 개의 주사위 던지기 게임)에 대한 전체 확률 법칙 문제

이번 포스팅에서는 두 개의 주사위 던지기 게임에 대한 전체 확률 법칙 문제를 풀어 보도록 하겠습니다.

문제의 상황은 다음과 같습니다. 두 개의 주사위를 반복 해서 던지고 던질 때 마다 두 개의 주사위의 합을 계산 합니다.(이러한 방식의 주사위 룰을 가지는 유명한 카지노 게임으로 크랩스가 있습니다.) 이 때 우리가 원하는 확률은 다음과 같습니다. 두 개의 주사위의 합이 10이 나오기 전에 두 개의 주사위의 합이 7이 나올 확률은?

문제 풀이

먼저 두 개의 주사위를 던지면서 합을 계산 해야 하므로 두 개의 주사위의 합에 대한 표본 공간을 다음의 $6 \times 6$ 정사각형을 이용해서 아래의 사진 처럼 정의 하겠습니다. $X_1$과 $X_2$는 각각 두 개의 주사위를 뜻하며 정사각형의 각각의 칸은 두 개의 주사위의 합을 의미합니다. 그리고 출현 빈도수가 같은 것 끼리 같은 색으로 처리 했습니다.

다음으로 우리가 구해야 하는 확률에 대해서 사건을 다음과 같이 정의 하겠습니다.

$A=\{ \text{두 개의 주사위의 합이 10이 나오기 전에 두 개의 주사위의 합이 7} \}$

다음으로 사건에 대한 확률 값을 $q$라고 정의 하겠습니다.

$P(A) = q$

여기서 왜 확률 값을 $q$라고 정의 했는지 의아 할 수가 있습니다. 그 이유는 이번 확률 문제를 풀기 위해서는 두 개의 주사위를 첫 번째로 던져서 나온 합에 대한 경우에 관한 Conditioning이 필요합니다 왜냐면 이러한 Conditining 없이는 반복적으로 발생하는 두 개의 주사위의 합에 대한 확률을 표현하기가 너무 힘들기 때문입니다. 하지만 두 개의 주사위를 첫 번째로 던져서 나온 합에 대한 경우에 대해서 Conditining을 하면 $P(A)$의 확률을 전체 확률 법칙을 통해서 계산 해 날 수 있습니다.

자 그리하면 첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합에 대한 확률을

$P\left(\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = i\right)$ 이라고 정의 하겠습니다. 그리고 각각의 $i$에 대한 사건은 disjoint 입니다.(위의 표본 공간 그림 참조)

이제 위의 정보를 바탕으로 $P(A)$에 대해 전체 확률 법칙을 적용 하겠습니다. 결과는 아래와 같습니다.

자 이제 여기서 $P(A|\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = i)$을 분석 해 보겠습니다.

분석을 위해 사건 A에 대한 확률을 다시 한번 살펴 보겠습니다.

$q=P(A)=P\left(\{ \text{두 개의 주사위의 합이 10이 나오기 전에 두 개의 주사위의 합이 7} \}\right)$

이 말은 즉, $P(A|\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = i)$을 다음의 세 가지로 나눠서 해석할 수 있다는 의미입니다.

• 첫 번째, 두 개의 주사위를 던져서 나온 합이 $7$이라면 사건 $A$를 자동으로 만족 합니다. 그러므로 $P(A|\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = 7)=1$ 입니다. 또한 이에 해당 하는 조건 확률은 $P\left(\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = 7\right)=\frac{6}{36}$ 입니다.(위의 표본 공간 참조)

• 두 번째, 두 개의 주사위를 던져서 나온 합이 $10$이라면 사건 $A$를 만족하는 경우는 없습니다.그러므로 $P(A|\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = 10)=0$ 입니다. 또한 이에 해당 하는 조건 확률은 $P\left(\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = 10\right)=\frac{3}{36}$ 입니다.(위의 표본 공간 참조)

• 세 번째, 두 개의 주사위를 던져서 나온 합이 $7,10$이 아니라면 사건 $A$로 돌아 오게 됩니다. 그런데 우리는 사건 $A$의 확률을 위에서 $P(A)=q$ 라고 정의 했습니다. 그러므로 $P(A|\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = o/w)=q$ 입니다. 또한 이에 해당 하는 조건 확률은 $P\left(\text{첫 번째로 두 개의 주사위를 던져서 나온 합} = o/w\right)=\frac{27}{36}$ 입니다.(위의 표본 공간 참조)

전체 확률 법칙의 정의에 의해 $P(A)=q$의 확률은 위의 세가지 확률의 총합입니다. 그러므로 위에서 미리 계산된 확률값을 가지고 총합을 계산 해 보면

인데 위의 식을 $q$에 대해서 정리하면 최종적으로 $q=\frac{2}{3}$를 얻게 됩니다.

결론적으로 두 개의 주사위의 합이 10이 나오기 전에 두 개의 주사위의 합이 7이 나올 확률은 $\frac{2}{3}$ 입니다.