주사위와 동전에 대한 전체 확률 법칙 문제

이번 포스팅에서는 주사위와 동전에 대한 확률 문제를 전체 확률 법칙을 이용해서 풀어 보겠습니다.

문제의 상황은 다음과 같습니다.

공정한 주사위와 동전이 있습니다. 먼저 주사위 한 개를 던집니다. 그 다음 주사위의 눈이 나온 만큼 동전을 던져서 앞면이 나온 경우를 셉니다.(예를 들어 주사위를 던져서 6이 나왔다면 동전을 6번 던져서 앞면이 나온 경우를 세면 됩니다.) 위와 같은 상황에서 동전의 앞면이 한 번도 나오지 않을 확률을 구하세요.

문제 풀이

위의 문제 상황을 일단 다시 한번 간단하게 요약 해 보면 다음과 같습니다.

주사위를 던지고 그 주사위가 나온 숫자 만큼 동전을 던질 때 앞면이 한번 도 나오지 않을 확률은 얼마입니까?

먼저 주사위를 던지는 것에 대한 표본 공간을 다음과 설정 하겠습니다.

$\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$

다음 주사위를 던져서 나온 눈의 결과를 사건 $X$라 하면 $X$는 단순 사건 입니다.
그러므로 자명하게도 사건 $X$에 대한 확률은 이산 균일 확률 법칙 에 의해 $\frac{1}{6}$ 입니다.

그 다음으로 $Y$를 동전을 던져서 앞면이 나온 횟수에 대한 사건이라고 정의 하겠습니다.

그러면 우리는 우리가 계산해야 할 동전의 앞면이 한 번도 나오지 않을 확률을 $P(Y=0)$로 정의 할 수 있습니다.

그런데 $P(Y=0)$은 우리가 단번에 계산 할 수 없습니다. 왜냐하면 동전을 던져서 앞면이 나오는 사건 이전에 주사위를 던져서 나온 눈의 결과를 알아야 하기 때문입니다.

즉, 우리는 여기서 이 문제를 풀기 위해서는 Coditioning 절차가 필요 하다는 것을 알 수 있습니다.

그런데 사건 $X$는 $\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\}$ 같이 partition 이므로 우리는 전체 확률 법칙을 이용해서 $P(Y=0)$의 확률을 다음과 같이 계산 할 수 있습니다.

전체 확률 법칙을 이용해서 확률을 계산 하기 전에 간단하게 사고 실험을 하나 해보겠습니다.

주사위가 1이 나왔을 때는 동전을 한 번만 던져야 합니다. 이 때 동전이 앞면이 나올 확률은 $\frac{1}{2}$ 입니다.

주사위가 2가 나왔을 때는 동전을 두 번만 던져야 합니다. 이 때 동전이 앞면이 나올 확률은 $\left(\frac{1}{2}\right)^2$ 입니다.

즉, 주사위가 $i$가 나왔을 때 동전이 앞면이 나올 확률은 $\left(\frac{1}{2}\right)^i$ 입니다. (여기서 $i$는 1부터 6까지의 값을 가질 수 있습니다.)

위의 정보들을 바탕으로 전체 확률 법칙을 이용해 $P(Y=0)$의 확률을 계산 하겠습니다.

즉, 주사위를 던지고 그 결과 만큼 동전을 던져서 동전의 앞면을 셀 때 동전의 앞면이 $0$이 나올 확률은 $\frac{63}{384}$ 입니다.