이번 포스팅에서는 포함배제의 원리에 대해서 증명 해 보겠습니다.
Scratch Work
포함배제의 원리의 정의는 다음과 같습니다.
P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)
포함배제의 원리는 수학적 귀납법을 통해서 증명 할 수 있는데요. 이번 포스팅 에서는 n=2 인 base case 에 대해서 증명 해 보겠습니다.
Lemma 1
Claim: A∪(B∖A)=A∪B
A∪(B∖A)=A∪(B∩A′)=(A∪B)∩(A∪A′)=(A∪B)∩(A′∩A)′=(A∪B)∩(∅)′=(A∪B)∩U=A∪B■
Lemma 2
Claim: A∩(B∖A)=∅
A∩(B∖A)=A∩(B∩A′)=(A∩B)∩(A∩A′)=(A∩B)∩∅=∅■
Lemma 3
Claim: (A∩B)∪(B∖A)=B
(A∩B)∪(B∖A)=(A∩B)∪(B∩A′)=B∩(A∪A′)=B∩(A′∩A)′=B∩(∅)′=B∩U=B
Lemma 4
Claim: (A∩B)∩(B∖A)=∅
(A∩B)∩(B∖A)=(A∩B)∩(B∩A′)=B∩(A∩A′)=B∩∅=∅
Fact from Lemma 3 and Lemma 4
P(B)=P(A∩B)+P(B−A)
P(B−A)=P(B)−P(A∩B)
증명
P(A∪B)=A∪(B∖A)=P(A)+P(B∖A)=P(A)+P(B)−P(A∩B)■