이산 균일 확률 법칙 증명

이번 포스팅에서는 이산 균일 확률 법칙(Discrete Uniform Probability Law)에 대해서 증명 해 보겠습니다.

Scratch Work

이산 균일 확률 법칙은 우리가 가장 흔하게 사용하는 확률 법칙 중 하나입니다. 예를 들어 정육면체 주사위를 던져서 1일 나올 확률은 $\frac{1}{6}$라고 하는데 이것은 자연 스럽게 이 주사위의 확률 문제에 이산 균일 확률 법칙을 적용되어서 $\frac{1}{6}$란 확률이 나온 것입니다.

이산 균일 확률 법칙은 다음과 같습니다.

표본 공간이 n개의 원소로 이루어져 있고 각각의 단순 사건이 동일한 발생 확률을 가진다면 임의의 사건 $A$에 대한 확률은 다음과 같습니다.

증명

$N = |\Omega|$라고 잡겠습니다.
사건 $S_i$를 partition이라 하면 Additivity Axiom에 의해 $\sum\limits_{\substack{i=1}}^N P(\{ S_i \})$ 할 수 있습니다.
그리하면 $\sum\limits_{\substack{i=1}}^N P(\{ S_i \}) = P\left( \bigcup\limits_{i=1}^{N} \{ S_i \} \right)$ 가 됩니다.
여기서 $P(\{S_i\})=X$라 하면 $\sum\limits_{\substack{i=0}}^N P(\{ S_i \}) = \sum\limits_{\substack{i=1}}^N X = NX$가 됩니다.
그런데 $\bigcup\limits_{i=1}^{N} \{ S_i \} = \Omega$ 이므로 다음과 같이 정리 할 수 있습니다.
$1=P(\Omega) = \sum\limits_{\substack{i=1}}^N P(\{ S_i \}) = \sum\limits_{\substack{i=1}}^N X = NX \;\; \text{by the normalization axiom}$
그러면 우리는 $1=NX$에서 $X=\frac{1}{N}$ 임을 알 수 있습니다.
$X=P(\{S_i\})$ 이므로 $P(\{S_i\})=\frac{1}{N}$ 임을 보였습니다. $\blacksquare$