서로소 집합

서로소 집합 자료구조

• 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
• 두 종류의 연산 지원
  • 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합침
  • 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
• 합집합 찾기(Union Find) 자료구조라고 부르기도 함

서로소 집합 자료구조: 동작 과정 살펴보기

서로소 자료구조:연결성

기본적인 구현 방법

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        return find_parent(parent,parent[x])
    return x

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a,b = map(int,input().split())
    union_parent(parent,a,b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ',end = " ")
for i in range(1,v+1):
    print(find_parent(parent,i), end = " ")

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ',end = " ")
for i in range(1,v+1):
    print(parent[i],end = " ")

기본적인 구현 방법의 문제점

경로 압축(Path Compression)

경로 압축 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent = find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i

# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
    a,b = map(int,input().split())
    union_parent(parent,a,b)

# 각 원소가 속한 집합 출력
print('각 원소가 속한 집합: ',end = " ")
for i in range(1,v+1):
    print(find_parent(parent,i), end = " ")

print()

# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ',end = " ")
for i in range(1,v+1):
    print(parent[i],end = " ")

사이클 판별

• 서로서 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용 가능
  ※ 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별 가능

서로소 집합을 활용한 사이클 판별: 동작 과정 살펴보기

서로소 집합을 활용한 사이클 판별 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 부모 테이블 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i

cycle = False # 사이클 발생 여부

for i in range(e):
    a,b = map(int,input().split())
    # 사이클이 발생한 경우 종료
    if find_parent(parent,a) == find_parent(parent,b):
        cycle = True
        break
    # 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
    else:
        union_parent(parent,a,b)
if cycle:
    print("사이클이 발생했습니다.")
else:
    print("사이클이 발생하지 않았습니다.")

크루스칼 알고리즘

신장 트리

최소 신장 트리(MST,Minimum Spanning Tree)

크루스칼 알고리즘

크루스칼 알고리즘: 동작 과정 살펴보기

크루스칼 알고리즘 구현

# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent,x):
    # 루트 노드를 찾을 때까지 재귀 호출
    if parent[x] != x:
        parent[x] = find_parent(parent,parent[x])
    return parent[x]

# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent,a,b):
    a = find_parent(parent,a)
    b = find_parent(parent,b)

    if a < b:
        parent[b] = a
    else:
        parent[a] = b

# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v,e = map(int,input().split())
parent = [0] * (v+1) # 부모 테이블 초기화

# 모든 간선을 담을 리스트와 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0

# 부모 테이블 상에서 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1,v+1):
    parent[i] = i

# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a,b,cost = map(int,input().split())
    # 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
    edges.append((cost,a,b))

# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()

# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
    cost, a, b = edge
    # 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
    if find_parent(parent,a) != find_parent(parent,b):
        union_parent(parent,a,b)
        result += cost

print(result)

크루스칼 알고리즘 성능 분석

위상 정렬

진입차수와 진출차수

• 진입차수(Indegree): 특정한 노드로 들어오는 간선의 개수
• 진출차수(Outdegree): 특정한 노드에서 나가는 간선의 개수

위상 정렬 동작 예시

위상 정렬 특징

위상정렬 구현

from collections import deque

v,e = map(int,input().split())
indegree = [0] * (v+1)
graph = [[] for _ in range(v+1)]

# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
    a,b = map(int,input().split())
    graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
    # 진입 차수를 1 증가
    indegree[b] += 1

# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
    result = []
    q = deque()
    # 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
    for i in range(1,v+1):
        if indegree[i] == 0:
            q.append(i)
    # 큐가 빌 때까지 반복
    while q:
        now = q.popleft()
        result.append(now)
        # 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
        for i in graph[now]:
            indegree[i] -= 1
            # 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
            if indegree[i] == 0:
                q.append(i)
    # 위상 정렬을 수행한 결과 출력
    for i in result:
        print(i,end = " ")

topology_sort()

위상 정렬 성능 분석