이 글은 Peter Shirley의 Ray Tracing in One Weekend를 번역한 것입니다.
Ray Tracing in One Weekend를 공부하면서 다시 한번 복습하는 느낌으로 번역을 해보려고 합니다. 영어가 서툴러 번역이 잘못되었을 수도 있으므로 잘못된 부분을 발견하신다면 지적해 주시면 감사하겠습니다.
레이 트레이서에 오브젝트 한 개를 추가해봅시다. 구(sphere)는 광선이 오브젝트를 교차하는지 계산이 매우 간단하기 때문에 레이 트레이서에서 구가 자주 사용됩니다.
5.1 Ray-Sphere Intersection
반지름이 𝑅이고 원점 중심인 구의 방정식은 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2입니다. 주어진 점(x, y, z)이 구 위에 있다면, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑅2를 만족합니다. 주어진 점(x, y, z)이 구 안에 있다면 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 < 𝑅2를 만족합니다. 주어진 점(x, y, z)이 구 밖에 있다면 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 > 𝑅2를 만족합니다.
점(𝐶𝑥, 𝐶𝑦, 𝐶𝑧)가 구의 중심이라면 구의 방정식은 다음과 같습니다:
그래픽스에서는 거의 항상, 공식이 벡터 형식으로 표현되기를 원합니다. 그래서 vec3 클래스에는 내부적으로 x/y/z가 존재합니다. 중심 𝐂 = (𝐶𝑥, 𝐶𝑦, 𝐶𝑧)에서 점 𝐏 = (𝑥, 𝑦, 𝑧)까지의 벡터는 (𝐏 − 𝐂)입니다. 그러므로 다음 식이 성립합니다.
벡터 형태의 구의 방정식은 다음과 같습니다:
"점 𝐏가 이 방정식을 만족한다면 점 𝐏는 구 위에 위치한다"라고 이해할 수 있습니다. 우리는 광선 𝐏(𝑡) = 𝐀 + 𝑡𝐛 가 구를 교차하는지 알고 싶습니다. 광선이 구를 교차한다면, 구의 방정식을 만족하는 𝐏(𝑡)의 𝑡가 존재합니다.
광선 𝐏(𝑡)의 완전한 형태로 풀어쓰면:
벡터 대수 규칙은 여기서 우리가 원하는 전부입니다. 좌항을 풀어서 다시 정리하고 𝑟2을 좌항으로 이항시키면:
방정식에 있는 벡터와 𝑟은 모두 상수로 알고 있는 값이며 아직 모르는 값은 𝑡입니다. 이 방정식은 고등학교 수학 시간에 봤던 이차방정식입니다. 𝑡의 해를 구해보면 해의 루트 부분이 양수인 경우(2개의 실수 해 존재), 음수인 경우(실수 해 없음), 0인 경우(1개의 실수 해 존재) 이렇게 3가지 경우가 가능합니다. 그래픽스에서는 거의 항상, 대수학이 매우 직접적으로 기하학과 연관되어 있습니다.
❗위의 이차방정식의 실수 해가 존재하지 않는다면 광선이 구와 교차하지 않는다.
실수 해가 1개 존재한다면 광선이 구의 한 점에서 접한다.
실수 해가 2개 존재한다면 광선이 구를 통과하여 두 점에서 교차한다.
5.2 Creating Our First Raytraced Image
아래와 같이 하드코딩한다면, 광선이 z 축의 -1에 위치한 작은 구를 교차하면 픽셀에 빨간색을 표시하도록 테스트할 수 있습니다.
/* ************* 추가 ************ */
bool hit_sphere(const point3& center, double radius, const ray& r) {
vec3 oc = r.origin() - center;
auto a = dot(r.direction(), r.direction());
auto b = 2.0 * dot(oc, r.direction());
auto c = dot(oc, oc) - radius * radius;
auto discriminant = b * b - 4 * a * c;
return (discriminant > 0);
}
/* ******************************* */
color ray_color(const ray& r) {
/* ************* 추가 ************ */
if (hit_sphere(point3(0, 0, -1), 0.5, r))
return color(1, 0, 0);
/* ******************************* */
vec3 unit_direction = unit_vector(r.direction());
auto t = 0.5 * (unit_direction.y() + 1.0);
return (1.0 - t) * color(1.0, 1.0, 1.0) + t * color(0.5, 0.7, 1.0);
}Listing 10: [main.cc] Rendering a red sphere
다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.
아직 많이 부족해 보입니다(셰이딩, 반사광 그리고 오브젝트 개수와 같은). 하지만 처음 시작에서 절반 정도 지나왔습니다! 주의할 점이 한 가지 있습니다. 우리는 광선이 모두 구를 교차하는지를 테스트한 것입니다. 하지만 𝑡가 음수인 경우도 동작합니다. 만약 구의 중심을 𝑧 = +1(구가 카메라의 뒤에 위치)로 옮긴다고 해도 기존의 𝑧 = -1 위치에 구가 있는 경우와 완전히 같은 이미지가 출력됩니다. 이것은 우리가 의도한 기능이 아닙니다! 다음에 이러한 문제들을 수정할 것입니다.
❗𝑡 < 0이면 광선 방향의 반대 방향이 된다
출처
Ray Tracing in One Weekend - Peter Shirley
https://raytracing.github.io/books/RayTracingInOneWeekend.html#addingasphere
