Lecture 16: Exponential Distribution

Exponential Distribution

• rate(속도) parameter $\lambda$

• $X \sim Expo(\lambda)$ has PDF: $\lambda e^{-\lambda x}$, $x > 0$ (0 otherwise)

  • valid $\int_{0}^{∞} \lambda e^{-\lambda x} dx = 1$

• CDF: $F(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{\lambda x}$, $ x> 0$.

• Let $Y = \lambda X$, then $Y \sim Expo(1)$

  • since $P(Y \le y) = P(X \le \frac{y}{\lambda}) = 1-e^{-y}$

• Let $Y \sim Expo(1)$, find $E(Y)$, $Var(Y)$

  • $E(Y) = \int_{0}^{∞} ye^{-y} dy = (-ye^{-y})\biggr|_{0}^{∞} + \int_{0}^{∞} e^{-y} dy = 0 + (-e^{-y})\biggr|_{0}^{∞} = 1$

    • $u = y$, $dv = e^{-y} dy$ → $du = dy$, $v = e^{-y}$

  • $Var(Y) = E(Y^2) - (EY)^2 = \int_{0}^{∞} y^2 e^{-y} dy -1 = 2-1 = 1$

    • $u = y^2$, then $2*\int_{0}^{∞} ye^{-y} dy$.

• So $X=\displaystyle \frac{Y}{\lambda}$ has $E(X) = \displaystyle \frac{1}{\lambda}$, $Var(X) = \displaystyle \frac{1}{\lambda^2}$

Memoryless Property

• $P(X \ge s+t | X \ge s) = P(X \ge t)$

  • 최소 s 시간을 기다렸으나 전화를 받지 못했을 때, t만큼의 시간을 더 기다린대도 새로 기다림을 시작하는 일과 같은 기분일 때

• Here $P(X \ge s) = 1-P(X \le s) = e^{\lambda s}$ like a survival thing

  • $P(X \ge s+t | X \ge s) = \displaystyle \frac{P(X \ge s+t, X \ge s)}{X \ge s} = \frac{P(X \ge s+t)}{X \ge s}$

    $= \displaystyle \frac{e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X \ge t)$

    • $P(X \ge s+t, X \ge s) = P(X \ge s+t)$: 중복 처리

    • Memoryless! ⇒ 지수함수로만 표현할 수 있어짐

• $X \sim Expo(\lambda)$

  • $E(X|X > a) = a+E(X-a|X>a) = a + \displaystyle \frac{1}{\lambda}$ by memoryless.

    • a 시간을 기다린 이후에 $X-a$ 시간을 새롭게 기다린다고 생각

• 출처 : Statistics 110, boostcourse