본 포스팅은 충남대 정상근 교수님의 강의를 참고하였습니다. 개인 공부를 기록하는 목적의 포스팅이며, 문제가 될 시 삭제하겠습니다.

Fourier Transform

Fourier Transform 중요성

푸리에 변환은 임의의 입력 신호를 다양한 주파수를 갖는 주기함수들의 합으로 분해하여 표현하는 것이다. 여기서 임의의 입력 신호는 파동의 형태이어야하며, 분해를 하면 sin, cos으로 나타낼 수 있다. 이 때 sin과 cos 주기함수들의 특성을 파악하기가 어려운데, 푸리에 변환은 이를 더 쉽게 만들어준다. 즉, 시간의 도메인에서 주파수 도메인으로 변환하여 어려운 문제를 쉬운 문제로 바꿔준다는 것이다. 이렇듯 푸리에 변환은 데이터를 보는 시점을 바꿔준다.

파동 형태라면 어떠한 입력도 가능한만큼 통신 분야에서 활발하게 이용되는데, 특히 음성인식에서 많이 쓰인다. 소리의 경우 공기를 압축하는 정도에 따라 전달되는데, 시간의 도메인과 주파수 도메을 변환하면 해당 주파수만을 추출하여 제거할 수 있다. 실제로 노이즈 캔슬링에는 이산 푸리에 변환을 간결하고 빠르게 하는 고속 푸리에 변환(Fast Fourier transform)이 사용되고 있다.

하지만 단순히 x domain을 time에서 freqency로 바꾼다면 선행되는 주파수를 알 수 없다. 이 두 가지를 동시에 알게끔 하는 방법이 Spectrogram이다. Spectogram은 window를 정하여 계속 DFT를 돌려주며 나타내어 time과 frequency에 대한 정보를 동시에 보여준다.

고속 푸리에 변환은 scipy 패키지의 fftpack 서브패키지에서 제공하는 fft 명령으로 다음과 같이 사용할 수 있다.

>>> from scipy.fft import fft
>>> # Number of sample points
>>> N = 600
>>> # sample spacing
>>> T = 1.0 / 800.0
>>> x = np.linspace(0.0, N*T, N)
>>> y = np.sin(50.0 * 2.0*np.pi*x) + 0.5*np.sin(80.0 * 2.0*np.pi*x)
>>> yf = fft(y)
>>> xf = np.linspace(0.0, 1.0/(2.0*T), N//2)
>>> import matplotlib.pyplot as plt
>>> plt.plot(xf, 2.0/N * np.abs(yf[0:N//2]))
>>> plt.grid()
>>> plt.show()

푸리에 변환의 핵심은 데이터 해석의 관점을 바꾸는 것이다. 기존의 시간을 기준으로 보았던 파동을 주기 함수(빈도수)의 분포(주파수)로 본다. 시간 뿐만 아니라 공간의 경우에도 적용할 수 있는데, 이 때는 공간과 파수(wavenumber)가 서로의 쌍으로 된다. 심지어 시간과 공간 뿐만 아니라 다양한 분야에도 쓰일 수 있다. 한 예로 사진 압축에도 쓰일 수 있는데, 대표적인 압축 형태인 JPEG(Joint Photographic Experts Group)는 푸리에 변환의 일종인 DCT(Discrete Cosine Transform, 이산 코사인 변환)에 기반하고 있다.