[ZB] 선형대수 - chap1. 벡터

1. 벡터의 정의

: 크기와 방향을 모두 가지는 어떤 양

• 우리 주변의 세계를 보고 이를 코드로 영리하게 묘사하는 방법
• 사물의 움직임을 프로그래밍하기 위한 가장 기본적인 구성요소
• 물리 및 공학
  • 위치, 속도, 힘 등과 같은 크기 + 방향성
  • 벡터 공간이 유클리드 공간 대부분을 다룸
  • 유클리드 벡터, 기하 벡터, 공간 벡터
• cf.) 스칼라(Scalar) : 크기만을 갖는 대상 (길이, 높이, 질량, 에너지)

2. 벡터 표기

3. 벡터 성질

• 동등성 : 벡터는 크기와 방향성만을 가짐 → 화살표의 방향이 일치하고 크기가 같으면 “동일”
• 영 벡터 : 크기가 0인 벡터
• 음 벡터 : 벡터a 자신에 더했을 때 영벡터가 되는 벡터 = a의 음벡터
  • -a 로 표기
  • 음벡터 -a와 벡터a는 크기는 같으나 방향이 정 반대
• 공간에 좌표계를 설정하여 좌표 값 사용 가능
  • 보통 ‘직각좌표계’사용
  • 기점 = 원점, 종점의 좌표로 벡터를 표시
    
    

1. 벡터의 성분, 분해, 합성

   1. 성분벡터(Component Vector) : 벡터를 각각의 좌표축에 투영(projection)시켜 얻음
      $\vec{a} = a_x + a_y$
      
   2. 벡터의 분해 : 한 벡터를 자신의 성분벡터의 합으로 나타내는 것

2. 단위벡터
   : 크기가 1 이고, 특정한 방향을 갖는 벡터

   • 벡터의 방향을 나타내가 위할 뿐 차원과 단위 X
   • 축의 방향 : 오른나사 규칙 (오른손 규칙)을 따름
   • 단위벡터의 집합 { i hat, j hat, k hat } = 기저벡터 집합 (basis vectors)
     • 기저벡터 집합을 선택한다 = 특정 직각좌표계를 선택한다
   • scalar multiplication 정의
   • $a_x : 방향성O / a_x : 방향성X$
     $a_x = a_x * \hat{i}$
     $a_y = a_y * \hat{j}$
     $a_z = a_z * \hat{k}$
     $\overrightarrow{a} = (a_x , a_y, a_z)$

4. 벡터의 연산

1. 벡터의 덧셈
   1. 삼각형법
   2. 덧셈의 교환법칙
   $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
   3. 덧셈의 결합법칙
   $(\vec{a} + \vec{b}) +\vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
   4. 평행사변형법
   $\vec{a}$와 $\vec{b}$의 꼬리를 일치시킨 후 두 벡터를 인접한 두 변으로 하는 평행사변형을 그려
   평행사변형의 대각선 = \v{a} + \vec{b}
   
   
2. 벡터의 뺄셈
   - 음벡터의 정의 이용
   
   
3. 벡터의 곱셈
   1. 내적 (inner product) ( · )
      • 한 벡터를 다른 벡터로 투영(projection) 시킨 후 그 벡터의 크기를 곱함
        $\vec{a} · \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}| cosθ$
        $\vec{a} · \vec{b} = \vec{b} · \vec{a}$
      • 결과 : Scalar (크기)
      • 마치 수처럼 곱
      • 방향이 일치하는만큼 곱함
        • 두 벡터가 90도를 이룰 때 = 내적의 값 = 0
   2. 외적 (outer product) (×)
      • $\vec{u} × \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}| sinθ$
        $\vec{u} × \vec{v} = -\vec{v} × \vec{u}$
      • 결과 : Vector
        방향 : 두 벡터 $\vec{a}$,$\vec{b}$가 이루는 평면에 수직
      • 단위벡터끼리의 외적 = 0
        서로 다른 단위벡터들의 벡터곱 = 크기는 1, 방향은 나머지 단위벡터와 평행