[ZB] 선형대수 - chap2. 행렬

Chap2. 행렬

1. 행렬의 정의

• 행렬 : 데이터가 사이즈 내에 정리되어 있는 형태
• $m \times n$ 행렬 - (i, j)로 이루어짐
  $A_{m,n} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}$
  - 행(m) : 세로로, $i \in \{1, \cdots, m\}$
  - 열(n) : 가로로, $j \in \{1, \cdots, n\}$
• $a_{ij}, a_{i,j}, A_{ij}, A_{i,j}, A(i,j), A[i,j]$
  = 행렬 A의 i번째 행, j번째 열의
  성분(entry) or 원소(element) or 계수(coefficient)
  
• $a_{ii} (i \in \{1, \cdots, m\})$
  = A의 대각성분 or 대각원소 or 대각요소 or 주대각선 성분
  

1. 행렬의 크기 : 행과 열의 순서쌍 (m, n)

   $A = \begin{pmatrix} a_{mn} \end{pmatrix}$

   *m=n인 경우, $A$ : 정사각행렬(Square Matrix) or 정방행렬

   $A = \begin{pmatrix} a_{mm} \end{pmatrix}$

   *m=1인 경우, $A : 1 \times n$ 행 벡터 (Row vector)

   $A_{i,-} = \begin{pmatrix} A_{i1} & A_{i2} & \cdots & A_{in} \end{pmatrix}$

   *n=1인 경우, $A : m \times 1$ 열 벡터 (Column vector)

   $A_{-,j} = \begin{pmatrix} A_{1j} \\ A_{2j} \\ \vdots \\ A_{mj} \end{pmatrix}$

2. 행렬의 계산

1. 행렬의 더하기와 빼기
   = 위치가 같은 원소들끼리 계산 ( 단, 행렬의 크기가 동일해야 함)

   $A \pm B = \begin{pmatrix} a_{mn} \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_{mn} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{mn} \pm b_{mn} \end{pmatrix}$

2. 행렬 A의 상수배

   $kA = \begin{pmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \cdots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \cdots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \cdots & ka_{mn} \end{pmatrix}$, $kA = \begin{pmatrix} ka_{mn} \end{pmatrix}$

3. 행렬의 곱셈

   : < 앞의 행렬의 열 수 = 뒤의 행렬의 행 수 >여야만 가능

   곱셈 결과의 행렬 크기 = (앞의 행렬의 행 수) × (뒤 행렬의 열 수)

   • [ m × n ] × [ n × k ] = [ m × k ]

   $A = m \times n , B = n \times k$

   $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}$

   $AB =\begin{pmatrix} a_{11}b_{11} +a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \end{pmatrix}$

   $\begin{pmatrix} a_{mn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_{nm} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{k} a_{mk}b_{kn} \end{pmatrix}$

   • 벡터의 내적과 같다
   • $AB ≠ BA$

4. 전치 행렬

   : 행렬을 뒤집어 놓은 형태

   $A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} _{m \times n}$ → 전치행렬 : $A^T = \begin{bmatrix} a_{ji} \end{bmatrix} _{n \times m}$

   • 대각선($a_{nn}$들을 이은)을 기준으로 바꾼다 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4&5&6 \\ 7&8&9 \end{bmatrix}$ $A^T = \begin{bmatrix} 1&4&7 \\ 2&5&8 \\ 3&6&9 \end{bmatrix}$ $A = \begin{bmatrix} 1&2 \\3&4 \\5&6 \end{bmatrix}$ $A^T = \begin{bmatrix} 1&3&5 \\ 2&4&6 \end{bmatrix}$ $(A^T)^T =A$
     

5. 역행렬

   $A \cdot A^{-1}$ = 단위행렬

   $A^{-1} = \begin{bmatrix} a&b \\c&d \end{bmatrix}^{-1}$$= \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d&-b \\ -c&a \end{bmatrix}$

   • [3,3] 이상 행렬에 대한 역행렬 연산은 엄청 오래 걸림