들어가며
앞으로 글을 쓰면서 필요할 거 같은 대수에 관한 내용을 간략하게 정리해보려고 한다.
군(Group), 환(Ring), 체(Field), 가군(Module), 벡터공간(Vector Space), 대수(Algebra)의 정의에 대해 이야기하겠다.
단, 수학에서 이름을 붙여 준다는 것은 유일해야 하기 때문에 아래의 이야기에 나오는 항등원, (각 원소에 대한)역원은 모두 유일함이 보장되어 있다.
연산
갑자기 연산이라니. 좀 생뚱맞을 순 있지만 위의 용어들이 모두 연산이 함께 주어져야 함으로 집어봐야 한다.
연산의 정의는 이러하다.
Given a set S,we say ∗:S×S→S is binary operation
쉽게 말해서 S라는 집합에서 두 원소를 뽑아 연산을 해도 S라는 집합에 존재해야 한다는 것이다.
반군(Semi Group)
∗ satisfies for any x,y,z∈ S(x∗y)∗z=x∗(y∗z)이면,(S,∗)는 semi−group이다.
우리에게 주어진 연산이 S라는 집합의 어떤 세 원소에 대해 결합 법칙이 성립하면, 즉 연산 순서와 무관하면 반군이다.
따라서 자연수는 덧셈에 대해 반군이다.
(1+2)+3 = 1+(2+3)
하지만 자연수는 뺄셈에 대해서는 반군이 아니다.
모노이드(Monoid)
Given a semi−group(M,∗)if∃ e∈ M s.t ∀a∈ Ma∗e∗a=awe called e the identity of M
반군(결합 법칙이 성립하는)이 주어졌을 때 , 반군의 어떤 원소에 대해서도 연산 후 자기 자신이 나오는 e라는 애를 항등원이라고 부르겠다는 것이다. 쉽게 말하면 덧셈에 대해서 0같은 친구를 말하는 것이다.
군(Group)
Given monoid(G,∗) we say G is group if G satifies∀x∈G, ∃ y∈G s.tx∗y=y∗x=e
모노이드(결합 법칙이 성립하고 항등원이 존재하는)이 주어졌을 때, 모든 원소에 대해 연산 결과 항등원이 나오는 원소가 존재하면 군이다. 여기서 y를 역원이라 한다. 예를 들면 덧셈에서 항등원은 0이기에 2의 역원은 -2이다. 때문에 자연수는 군의 정의를 만족하지 않지만, 정수는 군의 조건을 만족한다.
가환군(Commutative Group)
군이 주어졌을 때 xy=yx와 같이 교환이 가능하면 우린 가환군이라 부르며, 그 중 +에 대해서는 아벨 군(abelian group)이라 지칭한다.
환(Ring)
A set R is Ring if R is equipped with the add + and multiplcation ⋅+:R×R→R⋅:R×R→R(R,+) is an abelian group(R,⋅) is a semi−group+,⋅ is compatible i,e.(x+y)z=xz+yzx(y+z)=xy+zx
즉, 덧셈에 대해서는 군의 성질을 모두 가지지만(결합 법칙, 항등원, 역원), 곱셈에 대해서는 결합 법칙만 가지며 분배 법칙이 성립한다.
앞서 군을 이야기 할 때 ''~~~에 대해'', 라는 말을 사용했다. 그 이유는 군은 연산을 하나 밖에 가지지 못한다. 반면 환은 연산을 덧셈과 곱셈처럼 두 개를 가질 수 있다.
체(Field)
we say a ring(F,+,⋅) is field if{F−{0},⋅} is a commutaive group
환이 주어졌을 때 곱셈에 대해 가환군이라면, 체(field)라는 것이다.
즉, 덧셈과 곱셈에 대해 군의 성질을 만족한다는 것이다. 일반적으로 뺄셈과 나눗셈에 대해서는 정수와 유리수의 역원으로 정의된다. 때문에 분수의 분모가 0이 되는 걸 피할려고 집합에서 0을 뺀 것이다. 따라서 이 경우 우리가 말하는 사칙 연산이 성립할 때이다.
가군(Module)
Given a ring R, M a set,We say M is a R−module if M is equippedwith the additon + and the scalar multiplication R×M→M
환이 주어졌을 때 환의 있는 원소와 M의 원소의 scalar mulitplication이 M으로 간다면 가군(module)이라는 것이다.
예를 들어보자.
4⋅{1001}
그렇다. 선형대수학에서 자주 보던 것이 사실은 가군이었던 것이다. 단, 이 경우 R이 체라는 것이 보장되어야 한다.
가군의 경우 아래가 성립한다.
1) (M,+):additon group2) (r1+r2)⋅M=r1m+r2m3) r(m1+m2)=rm1+rm2(2,3의 경우 ∀r∈R,∀m1,m2∈M)4)0R⋅m=0m,∀m∈M(R의 항등원을 곱하면 M의 항등원이 되야함)5)(R1R2)m=r1(r2m)(∀r1,r2∈R,∀m∈M)
이를 통해 우린 가군이 선형대수학과의 연관성이 느껴진다.
벡터 공간(Vector Space)
사실 앞의 모든 것은 얘를 위해서 쓴 거다(앞으로 선형대수학을 정리해볼 생각이기에).
Give a Field Fwe say V is vector space given over Fv is a F−module
가군에 주어지는 것이 환이 아니라 체라면 V는 벡터 공간이다.
대수(Algebra)
A is the algebra if A has 3 operation with compatibility+:A×A→A×:A×A→A⋅:R×A→A
끝!
사실 이걸로 이해하긴 어렵다. 각각을 언젠가 자세히 다뤄볼 생각은 있지만 앞으로 쓸 이야기들의 도구로서의 역할을 수행할 거기에 간략하게 살펴보았다.
