확률 및 통계 (7)

이성준·2023년 7월 20일

확률 및 통계

확률변수의 함수

우리의 관심 : 확률실험의 특성파악

확률실험이 이미 알려진 확률변수 X로 모델링되는 경우 : CDF, PDF 그대로 이용
어떤 확률실험이 알려진 확률변수 X로 정확히 모델링되는 경우는 많지 않음

복습

E[X] = ∑ x * Px(x)

Y = g(x)

E[Y] = ∑ g(x) Px(x)
E[Y] = ∑ y Py(y) = ∑ g(x) * Py(y)

P[Y=y] = P[g(x) = y]
-> P[x = y^-1(y)] -> (역함수가 존재해야 가능함)
-> P[X = x] -> (Y대신 X를 써도 된다)

Y = g(x) 일때, CDF Fx(x)를 이용하여 Y의 CDF Fy(y) 표현가능!

예제 4-20: 두 상수 a != 0, b에 대해 확률변수 Y = aX + b일때, Y의 CDF와 PDF를 X의 CDF를 이용하여 구하시오.

예제 4-21: 확률변수 Y = X²에 대해 Y의 CDF와 PDF를 X의 CDF를 이용하여 구하여라 (-∞ < X < +∞) -> (늘 그래프를 그려봐라)

요약

주요 확률변수 : 균등 / 지수 / 가우스(정규)

표준정규분포의 변환, Φ(x)의 의미

확률변수의 함수

FY(y) = P[Y <= y] = P[g(X) <= y] 의미를 이용한 변환

예제 4-22: 반경이 X인 디스크는 다음의 PDF를 가질 때, 디스크의 넓이의 PDF를 구하여라.

T/F 확인문제

(1) 확률변수 X가 구간 [0,2]에서 정의된 균등(uniform) 확률 변수이면, Var[X] + 1 = 4/3이다.
-> T

Var[X] = (b-a)² /12 = 4 / 12 = 1/3
1/3 + 1 = 4/3

(2) 연속확률변수 X > 0가 평균이 α인 지수확률변수이면, Var[X] = α²이다.
-> F

E[X] = 1 / λ = α, λ = 1/α
Var[X] = 1 / λ² = α²

(3) fx(x)가 평균이 3인 가우스 확률변수 X의 확률밀도함수(PDF)일때, ∫-∞ to ∞ (x-3) fx(x) dx = 0이다.
-> T

두 확률변수

우리의 관심 : 확률실험의 특성 파악
어떻게? 확률변수를 이용 -> 하나의 확률변수 vs 여러개의 확률변수

(잘 알려진) 이산/연속활률변수 X (학습 O)
확률변수의 함수 : Z = g(X) (학습 O)
두 확률변수 : (X,Y) (학습예정)
확률변수 Z = g(X, Y) (학습예정)
확률변수함수 (일반화) (z₁...zm) = g(X₁... Xn) (어려움 : 학습 X)

확률변수의 순서쌍 : (X, Y)
어떤 확률실험의 결과(표본공간)를 2차원 실수좌표평면(R²)에 대응
(뒤 예시 참고)
예시 1, 실험결과: 수강생 중 학번선택 / (X, Y) = (학년, 나이)
예시 2, 실험결과: 동전 2번 던지기 / (X, Y) = (첫번째, 두번째)의 앞면수
예시 3, 실험결과: [0,1]에서 두 실수 선택 / (X, Y) = (첫번째, 두번째) 값

이산확률변수 : PMF / 확률변수 : CDF, PDF -> 어떻게 확장될 것인가?
-> 결합확률 질량함수(joint PMF), 결합 CDF, 결합 PDF

확률변수의 순서쌍을 포함하는 확률 계산 1
관심사건 A : X, Y의 관계로 표현
예시1 : (학년, 나이), A₁= {X = 2, 21 <= Y <= 23}
예시2 : (1st 앞면수, 2nd 앞면수), A₂= {X+Y = 1}
예시3 : (1st 실수, 2nd 실수), A₃= {X² + Y² <= 0.25}

확률변수의 순서쌍을 포함하는 확률계산 2
실수좌표평면 (R²)에서 관심영역 B : A를 만족하는 (X, Y) 순서쌍의 영역

P[A] = P[관심 (X,Y)영역] = P[B] = P[B에 대응하는 사건 ⊂ 표본공간]

P[A] != 관심영역(B) / 전체영역 -> (균등할 때만 가능함)

-> 일반적으로 성립하지 않음
(* 성립전제 조건 : (X,Y)가 R²에서 균등하게 분포)
결국, X,Y의 분포를 통합적으로 고려해야 함! -> "joint" PMF / CDF / PDF

결합확률 질량함수

확률변수의 순서쌍 (X, Y)에서 X, Y 모두 이산확률변수
하나의 이산확률변수에서 P[X=x]가 존재 -> P[X = x]
특정 하나의 순서쌍 ((X, Y) = (x, y))에 대한 확률이 존재

P[(X, Y) = (x, y) = P[{X=x} ∩ {Y=y}] = P[X = x, Y = y]

P[X = a] = Px(a) -> PMF

확률질량함수 (PMF) : Px(x) = P[X = x]
결합확률 질량함수 (joint PMF) : Px,y(x,y) = P[X = x, Y = y]
Px,y = Pxy (콤마 없이도 많이 쓴다.)

결합확률질량함수 (joint PMF)를 이용한 확률 계산

모든 (X,Y) 순서쌍 집합 : Sx,y = {(xn, ym) | n = 1,2,..., m=1,2...}
실수좌표평면 (R²)에서 관심영역 B : 관심있는 (X, Y) 순서쌍 영역

예제 5-1 : 카를로와 마이클이 앞면과 뒷면이 나올 확률이 같은 동전을 두번씩 (각각 두번씩) 던질 떄, 나온 윗면의 수의 최대값 X, 최소값 Y라고 할 때, 다음을 구하여라.

(1) 앞/뒷면을 관측하는 확률실험의 표본공간 S와 모든 (X, Y)의 집합 Sx,y을 구하여라

S = { (HH, HH), (HH, HT), (HH, TH), (HH, TT), (HT, HH), (HT, HT), (HT, TH), (HT, TT), (TH, HH), (TH, HT), (TH, TH), (TH, TT), (TT, HH), (TT, TH), (TT, TT)}

Sx,y = { (0,0), (1,0), (1,1), (2,0), (2,1), (2,2)}

-> S는 균등하고 Sx,y는 균등하지 않다.

(2) 결합확률질량함수 (joint PMF)와 P[X=Y]의 값을 구하여라