본 포스트는 작성자가 중국 북경대학교에서 22-23학년도 2학기 고등수학B(2) 수업을 들으며 배운 내용을 복습하며 정리한 포스트입니다. 중국어, 한국어, 영어가 뒤섞인 본인이 알아보기 위해 작성한 필기를 정리하는만큼 다른분들이 읽기엔 조금 불친절할수 있습니다.

11.1 이상적분 (广义积分)

위처럼 a에서 무한대까지 정의가 있고, any A>a에 대해서 f(x)가 [a,A]에서 적분 가능하고, 위의 적분이 존재하면 이상적분이 수렴한다고 한다.

비교판별법

쉽게 말해 보다 큰 함수의 수렴성을 따라가고, 분수로 둘 시 분모에 있는 함수의 수렴성을 따라간다.

교과서 예시들이다.

디리클레/아벨 판별법

급수때도 본 친구들이다.
1) $f(x)$가 유계하고 $g(x)$가 단조하며 0에 수렴하면 $f(x)g(x)$가 수렴, 혹은
2) $f(x)$가 수렴하고 $g(x)$가 단조유계하면 $f(x)g(x)$가 수렴한다.

예제다. 우선 $sinx$와 $1/x$로 나누어서 전자가 유계하고 후자가 0에 수렴하는것을 확인해 수렴을 확인하고, 절대값을 씌웠을때 $|sinx|$가 유계하지 않다는것을 증명하는 방식이다.

瑕积分

위와 같이 정의할 수 있다. 이상적분과 같은 비교법, 디리클레/아벨을 이용해 수렴 판별이 가능하다.

11.2 含惨变量的正常积分

3가지 정리를 기반으로 돌아간다.
1) 위와 같은 조건에서 c와 d 사이에 있는 $y_0$에 대해 극한을 적분 안에 넣어 계산이 가능하다.
2) $g(y)$가 $[c,d]$에서 적분이 가능하다면 위처럼 이중적분으로 전환해 계산이 가능하다.
3) $g(y)$가 $[c,d]$에서 미분이 가능하다면 위와 같이 미분을 진행 후 적분이 가능하다.

11.3 含惨变量的广义积分

우선 비교판별법, 디리클레와 아벨 판별법, 11-2에서의 정리들 모두 이곳에서도 똑같이 적용된다. 생략.

감마, 베타 함수