선형변환

선형 시스템

1) 선형조합(Linear combination) -> $Ax = b$
2) 선형변환(Linear Transformation) -> 행렬은 선형 함수

선형함수
함수 $f$가 아래 두 가지 조건을 만족하면 함수 $f$를 선형함수라고 한다.

$f(x+y) = f(x) + f(y),$
$f(cx) = cf(x)$

변환(Transformation)
함수의 입력이 $n$-벡터이고 출력이 $m$-벡터인 함수 T에 대해서 변환이라고 한다.
$T : R^n \to R^m$
만약 $n = m$인 경우, 해당 변환을 연산자(Operator)라고 한다.

$m$ x $n$ 행렬 $A$에 대해 $A$x는 $n$-벡터를 입력으로 받아 $m$-벡터를 출력으로 내는 변환 $T_A($x$) = A$x이다.
이 변환은 행렬이 정의하기 때문에 행렬변환(Matrix transformation)이라고 한다.

그런데 행렬변환은 다음의 선형함수 성질을 모두 만족하기 때문에 선형변환이다.
$T_A(x + y) = T_A(x) + T_A(y),$
$T_A(cx) = cT_A(x)$

$m$ x $n$ 행렬은 $n$-벡터를 입력으로 받아 $m$-벡터를 출력으로 내는 선형변환이며, 임의의 선형변환은 행렬로 표현가능하다. 즉, 행렬은 선형변환의 구현체이다.

2차원 벡터를 입력으로 받아, 해당 벡터를 반시계방향으로 $\theta$만큼 회전하는 기능을 구현해보자.

$A_{2x2} = \begin{vmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta\end{vmatrix}$