좌표계 변환

벡터의 물리적 표현
벡터 v를 화살표로 표현한다.

벡터의 수학적 표현
벡터 v를 화살표로 표현한다.
좌표계를 도입한 후, 벡터의 시작점을 원점에 맞추고 끝점의 위치를 벡터 v의 수학적 표현으로 정의한다.

$v = \begin{vmatrix}a\\b\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1&0\\0&1\end{vmatrix} \begin{vmatrix}a\\b\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix}+b\begin{vmatrix}0\\1\end{vmatrix}$

역행렬을 이용해 선형시스템의 해를 구하는 문제도 위와 같은 좌표계 변환으로 볼 수 있다.

$Ax = b \to x = A^{-1}b$
$\begin{vmatrix} 1&-1\\2&2\end{vmatrix} \begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1\\6\end{vmatrix} \to \begin{vmatrix} 1\over2&1\over4\\-1\over2&1\over4\end{vmatrix} \begin{vmatrix}1\\6\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}2\\1\end{vmatrix}$

행렬은 좌표계이고, 벡터는 좌표값이다.

v가 표준좌표계에서 (2,3)이다.
벡터 (3, 1)과 (1, -2)를 기저벡터로 가지는 새로운 좌표계를 도입했을때, v는 어떤 좌표값을 가지는가?
$\begin{vmatrix}3&1\\1&-2\end{vmatrix} \begin{vmatrix}x_1\\x_2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1&0\\0&1\end{vmatrix} \begin{vmatrix}2\\3\end{vmatrix} \to x_1\begin{vmatrix}3\\1\end{vmatrix}+x_2\begin{vmatrix}1\\-2\end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix}1\\0\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}0\\1\end{vmatrix}$

$x_1 = 1, x_2 = -1$