추정

표본평균의 특성

모집단이 정규분포인 경우
표본평균 사용

모평균 추정

점추정
표본평균이 점 추정값이 됨

import numpy as np
samples = [...]
print(np.mean(samples))

구간추정
모평균 $\mu$의 $100(1-\alpha)\%$ 신뢰구간

$(\mu$의 추정량$)\pm z_{\alpha/2}$(추정량의 표준편차)
정규분포에서 $\sigma$를 알 때,
$(\bar{x}- z_{\alpha/2}, \,\,\bar{x} + z_{\alpha/2})$
-실용적이지 못 함 : 정규분포가 아니거나 표준편차가 알려져 있지 않음

표본의 크기가 클 때 중심극한정리 사용
$(\mu$의 추정량$)\pm z_{\alpha/2}$(추정량의 표준편차)
$(\bar{x}- z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}}, \,\,\bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}})$
$s$ : 표본표준편차

import numpy as np
w = [...]
xbar = np.mean(w)
sd = np.std(w, ddof=1)
print('평균 %.2f, 표준편차 : %.2f' %(xbar, sd))
imprt scipy.stats
alpha = 0.05
zalpha = scipy.stats.norm.ppf(1-alpha/2)
print('zalpha: ', zlapha)

모비율 추정

점 추정
확률변수 $X$:
-$n$개의 표본에서 특정 속성을 갖는 표본의 개수
모비율 $p$의 점추정량
-$\hat{p} = \frac{X}{n}$

구간추정
n이 충분히 클 때,
$n\hat{p} > 5, n(1-\hat{p})>5$일 때를 의미
$X$~$N(np,np(1-p))$

확률변수 $X$의 표준화
$Z = \cfrac{X-np}{\sqrt{n\hat{p}(1-\hat{p})}} = \cfrac{\hat{p}-p}{\sqrt{\cfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}}$
근사적으로 표준정규분포 $N(0,1)$를 따름

모비율 $p$의 $100(1-\alpha)$ 신뢰구간
$\begin{pmatrix}\hat{p} - z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\cfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} \, \hat{p} + z_\frac{\alpha}{2} \sqrt{\cfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\end{pmatrix}$

import numpy as np
import scipy.stats
x = 48
n = 150
phat = x/n
alpha = 0.05
zalpha = scipy.stats.norm.ppf(1-alpha/2)
sd = np.sqrt(phat*(1-phat)/n)
print('phat %.3f, zalpha: %.3f, sd: %.3f' %(phat, zalpha, sd))
ci = [phat - zalpha * sd, phat + zalpha * sd]
print(ci)