좌표계

영상 Geometry에서의 좌표계는1. 월드 좌표계, 2. 카메라 좌표계, 3. 정규 좌표계, 4. 이미지 좌표계가 존재한다. 이 좌표계들을 이해하여야 카메라 Geometry를 이해하기위한 시작이 될 수 있다.

1. 월드 좌표계(World Coordinate System)

물체의 위치를 표현할 때 기준으로 삼는 실제 공간의 좌표계이다. 월드 좌표계는 문제에 따라 임의로 설정할 수 있는 좌표계이다. 어떤 물체를 기준으로 원점을 설정하고 X,Y,Z축을 잡을 수도 있는 것이다.
$P = (X,Y,Z)$

2. 카메라 좌표계(Camera Coordinate System)

카메라 좌표계는 카메라를 기준으로 한 좌표계로 카메라의 초점을 원점으로 하고 정면 광학축을 Z축, 카메라 오른쪽 방향을 X축, 아래 방향을 Y축으로 한다(오른손 좌표계).

$P_c=(X_c,Y_c,Z_c)$

3. 이미지 좌표계(Image Coordinate System)

이미지 좌표계는 카메라의 이미지 평면에 그려지는 이미지나 사람의 눈에 맺힌 영상에 대한 좌표계로 이미지의 좌상단을 원점으로하고 오른쪽 방향을 X축, 아래 방향을 Y축으로 하는 2차원 좌표계로 한다. 3D 공간의 점 P는 카메라의 초점을 지나 이미지 평면의 한 점 $p_{img}$로 투영된다. 이 때 P와 $p_{img}$를 잇는 직선상의 모든 점은 $p_{img}$가 될 수 있으므로 유일하게 결정할 수 없다. 3D 공간의 점은 평면 상에 유일하게 결정되지만, 평면의 점을 3D로 복원하려면 Depth 정보를 알아야 복원할 수 있다.
$p_{img}=(x,y)$

4. 정규 좌표계(Normalized Image Coordinate System)

정규 좌표계는 가상의 좌표계로 카메라의 내부 파라미터(Intrinsic Parameter)의 영향을 제거한 이미지 좌표계로 카메라 초점 거리가 1인 가상의 평면을 정의한다.
정규 이미지 좌표계의 원점은 이미지 좌표계와 달리 이미지 평면의 중점(광학축 과의 교점)이고 좌표축은 u,v로 표시한다.
$p'=(u,v)$
카메라 내부 파라미터를 알면 이미지 좌표계와 정규 좌표계사이 변환이 가능하다.
$p_{img} = Kp'$

$\begin{bmatrix}x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}f_x & 0 & c_x \\ 0 & f_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}u \\ v \\ 1 \end{bmatrix}$

위 식을 정리하면 아래처럼 변환된다.
$x=f_xu+c_x \\ y=f_yv+c_y$