[영상처리 기초] 2. Homogeneous Coordinates

Homogeneous Coordinates

Homogeneous 좌표는 (x,y)를 (wx,wy,w)로 표현하는 것으로 스케일은 무시되고 x,y에 대한 무한히 많은 표현이 존재하게 된다. 3차원에 경우에는 (x,y,z)가 (wx,wy,wz,w)로 표현된다.
Homogeneous 좌표 (x,y,w)에서 원래의 좌표로 구할 때는 (x/w,y/w,1)로 구할 수 있는데, 끝자리가 1이 되도록 스케일링하고 1을 제거하면 된다.
Homogeneous 좌표는 컴퓨터 그래픽스, 비전쪽에서 활용되는데, Homogeneous 좌표계를 사용하면 Affine 변환, Perspective 변환을 하나의 단일 행렬로 표현할 수 있기 때문이다. 점과 벡터는 변환 시 다른 연산을 수행하였는데, Homogeneous 좌표계에서는 동일하게 행렬 연산으로 변환할 수 있게된다.
원래의 좌표계는 Euclidean Geometry의 Cartesian Coordinate System을 사용한다. 유클리디언 기하학이 아닌 Projective Geometry가 있는데, 여기서 사용하는 좌표계가 Homogeneous 좌표계로, Projective 좌표라고도 한다.
카메라 영상은 3차원 공간의 점을 이미지 평면에 Projection한 것이다. 카메라 초점과 투영된 점을 잇는 선을 그으면 이 선 상의 모든 3D 점은 모두 동일한 점으로 투영된다. 이미지 평면상의 점에 대한 Homogeneous 좌표는 이 점에 투영되는 모든 점들을 표현할 수 있게 된다. 또 다른 장점은 무한대의 점을 유한 좌표로 표현할 수 있는 것인데, (x,y)방향의 무한한 점을 (x,y,0)으로 표현할 수 있는 것이다.

Projective Geometry

사영 기하학(Projective Geometry)는 투영 변환(Projection Tranformation)에 대한 불변인 기하학적인 특성을 연구하는 것으로 나와있다. 사영 기하학은 Projection을 다루는 기하학으로 1차원 사영 기하학은 2차원 평면에서 1차원 선으로 투영하는 관계, 2차원 사영 기하학은 3차원 공간에서 2차원 평면으로 투영하는 관계를 설명하는 것이다.
사영 기하학에서는 길이, 각도, 평행성이 보존되지 않는다. 이는 3D 공간이 투영된 영상을 생각해보면 이해할 수 있다. 사영 기하학에서는 Type이 보존되는데, 직선은 직선으로 곡선은 곡선으로 투영된다. 포함관계 또한 보존이 된다.

점, 선 그리고 외적

직선의 방정식을 Homogeneous 형태로 표현하면 아래처럼 된다.
$ax+by+c=0\\ax+by+cw=0$
이 때 $u=\begin{bmatrix}a&b&c\end{bmatrix}^T, p = \begin{bmatrix}x&y&w\end{bmatrix}^T$ 로 두면 $u^Tp=0$ 또는 $p^Tu=0$이 된다. 점 p가 직선 u 위에 존재할 조건은 $u^Tp=0$이 되는 것이다.
여기서 발생하는 성질이 있는데, 두 직선 u1, u2의 교점 p = $u1\times u2$이다. 또한 두 점 p1, p2를 지나는 직선의 방정식은 u = $p1\times p2$가 된다. Homogeneous 표현을 이용하면 두 직선의 교점, 두 점을 지나는 직선의 방정식을 외적으로 구할 수 있게 된다.