회로이론04[저항회로의 해석]

용권순·2021년 4월 19일

회로 이론

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저항회로의 해석방법(Methods of Analysis of Resistive Circuits)

Ground가 있을때, 노드의 전류와 전압을 구하는 방법이다. 노드를 +로 잡고, 그라운드를 -로 잡아서, 노드의 전압을 설정하여 다른 전압을 구하는 방법이다.

위의 그림에서 a를 먼저 보면, 그라운드와 직접 연결된 a노드의 전압은 노드와 그라운드 사이에 존재하는 $R_2$ 의 전압과 같다. 마찬가지로, b노드에 대해서 +로 기준을 잡고, 그라운드를 -로 기준을 잡으면 , b노드의 전압은 $v_b$ 이다.
이제 $R_1$ 의 전압이 a->b로 흘러간다고 할때, $R_1$ 의 전압 $v_1 = v_a - v_b$ 를 만족한다.

전류원과 전압원을 포함하는 회로의 마디전압해석

위 그림에서 a노드와 그라운드 사이에 $v_s$ 라는 독립전압원이 존재한다. 그렇다면, 노드a의 전압 $v_a = v_s$ 를 만족한다. 이처럼 그라운드가 포함된 회로에서 독립전압원이 존재하면 쉽게 노드의 전압을 구할 수 있다.

노드와 그라운드 사이에 전압원이 존재하는 경우 말고, 노드와 노드사이에 전압원이 존재한는 경우가 있는데,

위의 그림처럼 $v_a$ 와 $v_b$ 사이에 $v_s$ 가 존재하면, $v_s = v_a - v_b$ 라는 식이 성립한다. 이를 풀어쓰면, $v_a = v_s+ v_b$ 로 $v_a$ 를 이미 알고있는 $v_s$ 로 표현하여 식을 풀 수 있게 된다. 여기서 독립원 $v_s$ 를 포함한 두 노드를 슈퍼노드라고 부르며, 슈퍼노드를 하나의 노드로 보아서 KCL을 적용해야한다.
$R_1$ 에서 위에서 아래로 흐르는 전류를 $i_1$ , $R_2$ 에서 위에서 아래로 흐르는 전류를 $i_2$ 라고 하면, 슈퍼노드는 $i_1+i_2 = i_s$ 라는 KCL을 성립한다.

Mesh Current Analysis with Independent Voltage Sources (독립 전압원을 포함한 회로의 메시전류 해석)

가장 작은 loop를 이용하여, KVL을 사용하는 방법

다음 그림에서 $M_1, M_2, M_3, M_4$ 가 Mesh이다. 즉 Mesh란
회로에서 가장 작은 loop를 의미하며 ,본 회로에서 Mesh는 총 4개가 존재한다.

mesh current: 메시를 따라서 흐르는 전류를 의미한다. 관례상 시계방향으로해석한다.

※ 아래의 예시를 보면서 이해를 해보자.

mesh 우선 $i_1, i_2$ 가 존재한다고 헀을 때, $i_1$ mesh에 KVL을 적용해서 mesh current equation을 구할 수 있다.

case mesh 1: $-v_s+ R_1i_1+ R_3(i_1 - i_2) = 0$ ,
$\therefore v_s = (R_1+R_3) i_1- R_3 i_2$ 이렇게 간단하게 나타낼 수 있다. 여기서 주의해야할 점은 $R_3$ 에서 두개의 전류가 흐르고 있으므로, $i_1, i_2$ 로 표시를 해야한다. 위의 회로에선 $i_1$ 를 기준으로 식을 세우고 있기 때문에, $i_1$ 을 기준으로 , $i_2$ 는 $i_1$ 의 반대방향이므로 -를 붙여준다.

case: mesh2: mesh 1에서 한 것처럼, 식을 세워주는데, 이번엔 $i_2$ 를 기준으로 $R_3$ 의 전압을 구해보면
$R_2i_2+R_3(i_2-i_1)=0$
$\therefore (R_2+R_3)i_2 = R_3i_1$

N개의 mesh가 있으면 N개의 독립방정식이 얻어지고, 이를 연립하면 회로를 완전히 해석할 수 있다.

Mesh Current Analysis with Current and Voltage Source Current source(Voltage Source를 포함한 회로의 Mesh current Analysis)

Current Source가 하나의 mesh에 포함된 경우 ,그 mesh의 current는 전류원이 결정한다.

Current source가 인접한 두 mesh에 공통으로 포함된 경우: 두 mesh를 묶어 하나의 supermesh로 두어 방정식을 세움.

case1:

본 회로에서 $i_2$ mesh에서 $i_s$ 라는 독립 전류원이 존재하므로,
$i_s = -i_2$ 로 간단하게 알아낼 수 있다.

case2:

본 회로에서 $i_s= i_2 - i_1$ 임을 볼 수 있다. 이때 $i_s$ 는 독립 전류원이므로, 나머지 mesh에 대해서 연립방정식을 세우면 회로를 해석할 수 있다.

case 2(심화/super_mesh를 사용)

두 mesh사이에 독립 전류원이 존재할 경우 ,하나의 super mesh로 보고 해결 할 수 있다. 다만 주의할 점은 두개의 mesh를 하나의 super mesh로 본다고 해서 같은 전류가 흐르는 것은 아니다.

우선 $i_1-i_2 = 1.5A$ 임을 확일할 수 있다.

super_mesh에 KVL을 적용, $-12 + 9i_1+ 3i_2+ 6i_2=0$ 이 성립한다.

위에 식 $i_1-i_2 = 1.5A$ 를 이용하여 연립하면, $i_1 = 1.4167 A , i_2 = -83.3mA$