DCT (이산 코사인 변환)

Jangmyun·2025년 8월 24일

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이미지를 주파수 성분으로 바꿔주는 변환

N*N 크기의 샘플블록 X를 처리하여 N*N 크기의 계수 블록 Y를 생성
변환 행렬 A를 사용하여 DCT와 IDCT의 동작을 설명

변환 행렬 A의 요소 공식은 다음과 같다.

A_{ij} = C_i \cos\left( \frac{(2j + 1)i\pi}{2N} \right) \quad \text{where} \quad C_i = \begin{cases} \sqrt{\frac{1}{N}} & i = 0 \\ \sqrt{\frac{2}{N}} & i > 0 \end{cases}

summation form으로 다시 쓰면

Y_{xy} = C_x C_y \sum_{i=0}^{N-1} \sum_{j=0}^{N-1} X_{ij} \cos\left( \frac{(2j + 1)y\pi}{2N} \right) \cos\left( \frac{(2i + 1)x\pi}{2N} \right)

X_{ij} = \sum_{x=0}^{N-1} \sum_{y=0}^{N-1} C_x C_y Y_{xy} \cos\left( \frac{(2j + 1)y\pi}{2N} \right) \cos\left( \frac{(2i + 1)x\pi}{2N} \right)

4x4 DCT의 A 행렬의 값은 다음과 같

위 코사인 식을 풀면 아래와 같다.

4x4 DCT의 basis pattern은 다음과 같다.

원본 이미지 블록을 DCT 계수 블록으로 변환한 후

가장 중요한 계수인 DC 계수 (0,0) 만 남기고 모든 계수를 0으로 설정한 후 IDCT 수행하면 원본 픽셀들의 평균값이 된다.

5개의 계수를 포함하면 IDCT 결과 블록은 원본과 근접하게 된다

16개의 계수 중 일부만으로도 이미지 블록의 근사한 복사본을 재구성할 수 있다.

Quantization이 이 점을 이용해 중요도가 낮은 계수를 0으로 만들어서 데이터 양을 줄인다.

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