Floating Point Addition

4-digit decimal example

$9.999 * 10^1 + 1.610 * 10^{-1}$

1. Allign decimal points
   Shift number with smaller exponent(?)
   $9.999 + 10^1 + 0.016 * 10^1$

2. Add significands
   $9.999 * 10^1 + 0.016 * 10^1 = 10.015 * 10^1$

3. Normalize result and check for over/underflow
   $1.0015 * 10^2$

4. Round and renormalize if necessary
   $1.002 * 10^2$

4-digit binary example

$1.000 * 2^{-1} + -1.110 * 2^{-2}$
$(0.5 + -0.4375)$

1. Align binary point
   Shift number with smaller exponent
   $1.000 * 2^{-1} + -0.111 * 2^{-1}$

2. Add significands
   $1.000 * 2^{-1} + -0.111 * 2^{-1} = 0.001 * 2^{-1}$

3. Normalize result and check for over/underflow
   $1.000 * 2^{-4}$

4. Round and renormalize if necessaru
   $1.000 * 2^{-4} => 0.0625$

---

Floating Point Multiplication

4-digit decimal example

$1.110 * 10^{10} * 9.200 * 10^{-5}$

1. Add exponents
   For biased exponents, subtract bias from sum
   $new \,\,exponent = 10 + -5 = 5$

2. Multiply significads
   $1.110 * 9.200 = 10.212$
   $=>10.212 * 10^5$

3. Normalize result and check for over/underflow
   $1.0212 * 10^6$

4. Round and renormalize if necessary
   $1.021 * 10^6$

5. Determine sign of result from signs of operands
   $+1.021 * 10^6$

4-digig binary example

$1.000 * 2^{-1} * -1.110 * 2^{-2}$
$(0.5 * -0.4375$

1. Add exponents
   unbiased : -1 + -2 = -3
   biased : (-1 + 127) + (-2 + 127) = -3 + 254 - 127 = -3 + 127

2. Multiply significands
   $1.000 * 1.110 = 1.110$
   $=> 1.110 * 2^{-3}$

3. Normalize result and check for over/underflow
   $1.110 * 2^{-3}$

4. Determine sign
   $-1.110 * 2^{-3}$

---

FP Instructions in MIPS

• single precision arithmetic
  • add.s, sub.s, mul.s, div.s
• double precision arithmetic
  • add.d, sub.d, mul.d, div.d
• single- and double- precision comparison
  • c.eq.s, c.eq.d, c.lt.s, c.lt.d, ...
• branch on FP condition code true or false
  • bc1t, bc1f

---

Subword Parallellism

• 원래 많은 그래픽 시스템이 화소 하나당 32bit를 사용하였다. 여기에 소리에 대한 지원도 필요하게 되었고, 소리 샘플은 16bit 정도의 정밀도면 충분하다.

• 모든 마이크로프로세서는 byte나 halfword가 메모리에 저장될 때 공간을 덜 차지하도록 지원한다. 하지만 일반적인 정수 프로그램에서 이 정도 크기의 데이터에 대한 산술연산이 많이 쓰이지 않기 때문에, 데이터 전송 이상의 지원은 거의 없었다.

• 그러다가 많은 그래픽과 오디오 응용 프로그램이 이런 데이터의 백터에 같은 연산을 반복 수행한다는 것을 설계자가 알게 되었다.

• 128bit Adder 내부의 올림수 체인을 분할하면 프로세서가 병렬성을 활용해서, 8 bit operand 16개나 16 bit operand 8개, 32 bit operand 4개, 64bit operand 2개를 동시에 연산할 수 있다.

• 큰 워드 내부에 병렬성이 있다고 할 때, 이것의 확장을 Subword Parallellism(서브워드 병렬성)이라고 한다.