수의 집합론
인간의 언어로 정의한 '소박한 집합론'에서 수는 자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 허수, 복소수로 분류된다.
수집합의 특징
수집합은 덧셈, 곱셈, 뺄셈, 나눗셈 등 여러 연산이 가능한 것이 특징이며, 사칙연산은 대표적인 이항연산이다. 이항연산은 교환법칙, 결합법칙, 분배법칙을 만족하고 항등원과 역원을 가진다. 또한, 닫혀있다.
닫혀있음
같은 수 집합에 속한 두 원소를 이항연산할 경우, 그 결과는 항상 그 집합에 속한다.
교환법칙
a와 b를 연산할 때, 연산의 순서에 관계없이 같은 값이 나온다.
a + b = b + a
a * b = b * a결합법칙
여러 번 연속된 연산을 할 때, 앞을 먼저 하던 뒤를 먼저 하던 같은 결과가 나온다.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a * b) * c = a * (b * c)분배법칙
서로 다른 2가지 연산에 대해 아래의 규칙이 성립한다.
a * (b + c) = a * b + a * c // 좌분배법칙
(b + c) * c = b * a + c * a // 우분배법칙항등원
임의의 수와 연산한 결과가 항상 같은 값이 나오는 수이다.
a + 0 = a // 0은 a의 덧셈 항등원
a * 1 = a // 1은 a의 곱셈 항등원역원
임의의 수와 연산한 결과가 항상 항등원이 나오는 수이다.
a + (-a) = 0 // -a는 a의 덧셈 역원
a * (1 / a) = 1 // 1/a는 a의 곱셈 역원체의 구조
다음과 같은 공리를 모두 만족하는 수 집합은 체의 구조를 갖는다고 표현한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 닫혀있다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 결합법칙이 성립한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 교환법칙이 성립한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 항등원이 존재한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 역원이 존재한다.
- 첫 번째 연산과 두 번째 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
하지만, 뺄셈과 나눗셈은 교환법칙을 만족하지 못하므로 각각 덧셈과 곱셈의 역원을 이용함으로써 같은 결과를 만들어 내는 방법이 주로 활용된다.
a - b != b - a
a / b != b / a
// 따라서 다음과 같이 덧셈과 곱셈의 역원을 활용
a + (-b) = (-b) + a
a * (1 / b) = (1 / b) * a유리수와 실수는 체의 구조를 갖는다.
수의 표현
직선상에 유리수의 원소를 순서대로 나열할 때, 와 같은 무리수를 표현할 수 없으므로 반드시 무리수로 대표되는 빈 공간이 생길 수 밖에 없다. 따라서 실수의 각 원소를 대응해 표현한 직선을 수직선이라고 한다.
수직선 위에 하나의 원소를 표현할 때, 그 위치에 점을 찍는다. A라는 점이 B라는 점보다 오른쪽에 위치한 경우 A > B이며, 왼쪽에 위치한 경우 A < B가 된다.
수직선의 관점에서 보면 특정한 수 A가 갖는 방향성은 부호 (+A / -A)로 표현되고, 그 길이(혹은 거리)는 절댓값 |A|로 나타낸다.
