[게임 수학] #2 함수

함수

함수란 두 집합이 있을 때, 첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대응되는 관계를 말한다.

함수의 규칙은 다음과 같다.

1. 첫 번째 집합의 모든 원소가 두 번째 집합의 원소에 대해 대응관계를 가진다.
2. 첫번째 집합의 원소는 두 번째 집합에서 단 하나의 원소와만 대응관계를 가져야한다.

함수의 용어

두 집합을 각각 $X$와 $Y$로 특정하고 $X$의 원소를 $x$, $Y$의 원소를 $y$로 표현한다고 가정할 때, $X$의 모든 원소가 $Y$의 원소에 대응되는 함수를 $y = f(x)$로 나타낸다.

정의역

$X → Y$

$y = f(x)$에서 첫 번째 집합이자 왼쪽에 위치한 $X$는 정의역이다.

공역

$X → Y$

$y = f(x)$에서 두 번째 집합이자 오른쪽에 위치한 $Y$는 공역이다.

치역

$X → Y$

함수라면 $X$의 모든 원소는 반드시 $Y$의 일부와 대응관계를 맺어야하지만, 반대로 $Y$의 모든 원소가 전부 빠짐없이 $X$에 대응되어야 하는 것은 아니다.
$X$원소들의 선택을 받은 $Y$의 원소들이 모인 부분집합을 치역이라고 한다.

함수의 종류

전사함수

공역의 모든 원소가 정의역에 대응되는 함수로 공역과 치역이 같다.

단사함수

정의역과 공역의 요소가 1:1로 대응되는 함수이다.

전단사함수

정의역과 공역의 모든 원소가 빠짐없이 1:1로 대응되는 함수이다. 전사함수와 단사함수의 모든 조건을 만족한다.

합성함수

두 집합의 관계를 나타내는 것이 아니라 여러 집합의 관계를 나타내기 위하여 두 함수를 하나의 함수로 합치는 것을 합성이라고 한다.

$X → Y → Z$
X와 Y사이에는 $f(x)$라는 함수가, Y와 Z사이에는 $g(x)$라는 함수가 존재한다고 가정할 때, $f(x)$와 $g(x)$를 합성하면 Y없이 $X → Z$의 관계를 나타낼 수 있다. 이 합성합수를 $g(f(x))$혹은 $g$ ∘ $f$로 표현한다.

합성함수는 이항연산처럼 결합법칙이 성립한다.

항등함수와 역함수

항등함수

정의역과 공역이 동일한 값에 대응하는 함수로 $id$라고 나타낸다.
예를 들면, 1 → 1, 5 → 5와 같은 관계다.

$f$ ∘ $id$ = $f$

역함수

특정 함수 f와 합성한 결과가 항등함수가 되는 함수로 $f^{-1}$로 나타낸다.

$f$ ∘ $f^{-1}$ = $id$

모든 함수가 역함수를 갖지 않으며 오직 전단사함수만이 역함수를 가질 수 있다.
또한, 역함수는 다음과 같은 규칙을 만족한다.
$(g$ ∘ $f)^{-1}=f^{-1}$ ∘ $g^{-1}$

좌표 평면에서의 함수

두 집합을 각각 $X$와 $Y$로 특정하고 $X$의 원소를 $x$, $Y$의 원소를 $y$로 표현한다고 가정할 때, 곱집합 $X$ X $Y$ 는 두 집합 X와 Y를 수직으로 배치해서 묶는다.

이 때, 곱집합의 원소는 각 집합의 원소 $a$와 $b$를 $(a,b)$와 같이 쌍으로 묶어서 표현하게 된다.

이런 성질을 이용하면 하나의 수직선으로 표현되던 실수를 평면으로 나타낼 수 있다.